Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
-0,44 0,42 -1,18 -0,07 0,59 -1,26 1,00 0,11
-1,37 2,16 0,89 0,24 1,54 —0,25 —0,05 0,00
-1,71 3,18 1,71 0,55 0,14 0,25 0,43 2,34
-1,22 2,10 3,05 -2,16 0,55 2,18 0,15 1,88
Таблица П8.2
Реализация двумерного процесса с задержкой
*1( = №1(-1 + г1( *2( -0.s*2(-l+2*l(-10 + ^2e ^2( = ^2(-I +?
( = 1 - 25 і = 26 - 50 ( = 51-75 ( = 76-100 ( = I — 25 ( = :.6 - 50 ( = 51-75 ( = 76-100
-2,07 -1,15 0,69 -0,46 -1,49 -0,78 0,31 -0,95 -0,90 -0,30 0,00 -1,99 -1,75 0,70 0,73 0,20 -0,42 1,18 0,82 1,50 0,32 0,35 -2,03 -4,16 -3,55 -3,65 -3,38 -3,04 -3,03 -2,64 8,00 7,91 8,81 2,36 5,92 4,88 3,01 6,05 5,67 7,23
-0,70 - 1,07 -0,69 -0,68 1,27 - 1,02 -0,53 0,15 1,40 1,22 1,16 0,06 -0,02 1,10 -0,35 2,92 1,18 1,23 3, IB 0,79 — 1,04 2,60 0,67 -0,25 —0,90 -1,01 2,88 -1,18 — 1,91 -3,75 2,94 2,05 -1,52 —4,87 —2,96 2,32 1,27 1.26 4,86 4,75
-1,05 -0,05 -0,84 -0,62 -0.49 0,59 0,70 1,70 2,78 1,98 -1,67 -1,57 1,16 1,84 3,35 0,68 1,14 1,02 1,02 -0,71 -4,69 —3,50 1,62 0,81 -0,95 -3,61 -3,08 -4,18 -4,75 —2,62 —2,26 -4,23 —5,26 -0,96 0,37 3,55 1,50 3,37 5,69 7,52
-1,29 -0,49 -1,06 -0,38 -0,52 1,39 1,85 2,60 0,51 2,77 0,40 0,45 1,30 0,93 1,17 -0,17 -1,50 -0,26 -0,38 0,93 -2,24 -4,50 -4,55 -3,85 0,78 —2,15 -1,61 -1,28 1,14 2,89 3,58 1,63 1,05 3,77 1,60 10,32 8,41 7,55 10,38 9,14
-0,13 1,30 -1,51 -0,43 -1,33 1,16 1,07 -0,48 -0,52 0,37 -1,74 -1,28 -0,07 1,50 0,53 -0,33 -1,12 -2,95 -2,09 -1,11 -0,02 -0,72 -1,84 -1,78 -2,77 4,68 4,94 6,41 10,54 9,06 —3,67 -6,24 — 1,82 2,11 7,51 6,93 6,54 4,13 3,49 0,40
Глава 9
В разд. 9.1 показано, что выборочный взаимный спектр обладает тем же нежелательным свойством, что и выборочный автоспектр: его дисперсия не зависит от длины записи. Однако из него можно получить выборочную коспектральную функцию и выборочный фазовый спектр и построить с их помощью частотный критерий корреляции двух временных рядов.
В разд. 9.2 выводятся выражения для дисперсий и ковариации сглаженных коспектров и квадратурных спектров, а также для сглаженных спектров когерентности и фазовых спектров. Показано, что эти дисперсии и ковариации зависят как от неизвестного теоретического спектра когерентности, так и от способа сглаживания, влияние которого можно учесть.
В разд. 9.3 приводятся некоторые численные примеры оценивания взаимных спектров, в которых показано, что если максимум взаимной корреляционной функции сдвинут относительно нуля, то получаются очень большие смещения. Теоретический анализ этих смещений показывает, что их можно минимизировать с помощью взаимного сдвига, или выравнивания, рядов, в результате которого взаимная корреляционная функция достигает максимума в нуле. В разд. 9.4 описана практическая методика оценивания взаимных спектров и приведен пример.
9.1. СВОЙСТВА ВЫБОРОЧНОГО ВЗАИМНОГО СПЕКТРА
9.1.1. Моменты выборочного взаимного спектра для двух некоррелированных белых шумов
В этом разделе мы выведем выражения для средних значений, дисперсий и ковариации оценок, соответствующих выборочным коспектрам, квадратурным спектрам, а также выборочным фазовым и взаимным амплитудным спектрам, предполагая, что два рассматриваемых процесса являются некоррелированными белыми шумами. Эти выражения окажутся полезными в двух случаях. В разд. 9.1.2 мы используем их при выводе критерия корреляции двух временных рядов, а в разд. 9.1.3 и 9.2.1 — при выводе моментов оценок, соответствующих обычным и сглаженным выборочным
ОЦЕНИВАНИЕ ВЗАИМНЫХ СПЕКТРОВ
124
Глава 9
взаимным спектрам, при довольно общих предположениях относительно случайных процессов X1 (t) и X2(t).
Как и раньше, процессы белого шума мы обозначим через Zi(t) и Z2(o- Предполагается, что они имеют нулевые средние значения. Преобразования Фурье отрезков этих процессов обозначим через
Г/2
Z1(J)= \ Zt(t)е-dt = A1(J)-JB1(I),
-Г/2
где Aiif), Bi(f) —синус- и косинус-преобразования Zi(t). Опуская аргумент / в этих преобразованиях, можно записать случайные функции, соответствующие авто- и взаимным спектрам, в виде
Ctfj.u!«!.^-. ,•-1.2, (9.U)
i z\ (f) Z9 (f) i 1 C12 (I) = 1 '% 2 1 = Y ^ + >'?i) ^ - =
= у [(A1A2 + B1B2) - j (B2A1 - B1A2)]. (9.1.2)
Отсюда случайные функции, соответствующие коспектрам и квадратурным спектрам, имеют вид
L12(D = (A1A2+ В ,B2), (9.1.3)
Q12(I) = Y-(B2A1-B1A2). (9.1.4)
Далее, если Zi(t)—гауссовские процессы, то, как было показано в разд. 6.3.1, Ai и Bi являются гауссовскими случайными величинами. Было показано также, что если процессы Zi(t) имеют нулевые средние значения, то
E[Ai] = E[BA = Q, (9.1.5)
и для гармонических частот fm = т/Т имеют место равенства
Var [AJ = Var [B1] = ^,
2 (9.1.6)
COv[A;, B1] = О, і =1,2.
Если, кроме того, процессы Zi(o и Z2(o некоррелированы, то
COV[A11A2I = O = CoV[B1^2],
COV[A11B2I = O = CoV[S11A2]. ( 7)
Моменты выборочного коспектра и квадратурного спектра.
С помощью этих формул можно вывести моменты выборочного
Оценивание взаимных спектров
125
коспектра и квадратурного спектра. Например, с помощью (9.1.3) и (9.1.7) получаем
e [L12 (Z)] = ±{е [a1a2] + e [b1b2]} = О, а с помощью (9.1.6) —
