Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Дженкинс Г. -> "Спектральный анализ и его приложения Том 2" -> 32

Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.

Дженкинс Г., Ваттс Д. Спектральный анализ и его приложения Том 2 — М.: Мир, 1972. — 285 c.
Скачать (прямая ссылка): spekralanalizt21972.djvu
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 85 >> Следующая

со
C12(U)= \ [L12(I)-JQ12Q)]eW»df =
— OO
OO OO
= I L12(/)cos2nfudf + j Q12(f) sin 2nf и df, (8.3.15)
— OO —OO
при выводе которого мы воспользовались тем, что L12(J)—четная функция, a Qi2(J) — нечетная функция частоты. Наконец, полагая в (8.3.15) и = 0, получаем
OO
C12(O)= J L,2(/)d/. (8.3.16)
— OO
Следовательно, выборочный коспектр дает разложение по частоте выборочной взаимной ковариации при нулевом запаздывании аналогично тому, как выборочный спектр (6.1.11) дает разложение выборочной дисперсии по частоте. Запишем теперь (8.3.15) в виде
C12(U) = t12(u)+ о12(и), (8.3.17)
где
T
L12V)= { ll2(u)cos2nfu du, (8.3.18)

T
Qi2 (f) = { о 12 (и) sin 2nfu du.

Взаимная корреляционная функция и взаимный спектр 103
Нетрудно проверить, что kz{u)—это четная часть функции.ci2(и), т. е.
/12(") = Y [C12(") + с,2(- и)]. (8.3.19)
Аналогично, ¦712(") —нечетная часть ci2(u), т. е.
Я12 («) = у [с12 (и) - C12 (- и)]. (8.3.20)
8.3.3. Взаимный спектр
В предыдущем разделе мы рассматривали xx(t) и x2(t) как заданные функции времени t. Если считать, что {x{(t), x2(t)}— реализация стационарного двумерного случайного процесса {Zi(Z)1 X2(I)}, то возникают те же самые проблемы, что и в одномерном случае. Так, например, выборочные коспектры и квадратурные спектры, сосчитанные по реализации двумерного случайного процесса, не сходятся ни в каком статистическом смысле к предельным значениям, когда длина реализации T стремится к бесконечности. В действительности, они ведут себя так же, как выборочный спектр, показанный на рис. 6.1. Чтобы понять, почему это так, нужно исследовать свойства случайной величины Cx1X. (/)» для которой выборочный взаимный спектр является реализацией.
Из (8.3.12) случайная оценка, соответствующая выборочному взаимному спектру, имеет вид г
Cx1XAf)= \ cXlxAu)e-mfudu, -оо</<оо. -г
С помощью (8.2.2) получаем среднее значение этой величины
г
E[Cx1xAf)]= J (і -lp-)yXtXl(u)e-™*du. (8.3.21) -г
При Т —»оо это среднее значение стремится к взаимному спектру мощности, или, короче к взаимному спектру *). Таким образом,
со
lim E[CXlxAf)] = ^xlXAf) = і ухЛи)е-№»аи, - оо< f <оо (8.3.22)
— со
Равенство (8.3.22) показывает, что взаимный спектр является преобразованием Фурье от взаимной ковариационной функции. Отметим, что в определении взаимного спектра для случайного
*) Более точно было бы называть функцию (8.3.22) взаимной спектральной плотностью. Однако ради краткости мы будем пользоваться и термином «взаимный спектр». — Прим. перев.
Таблица 8.3
Краткая сводка формул для взаимных спектров
Функция Теоретические величины Выборочные величины
обозначение определение обозначение определение
Автоспектр Гц (/) со Гц (»- J Yn(«)*-/2ltf"d" — OO C11 (/) г C11(Z)= J Cll(«)<r/2ltf"rf« -г
Взаимный спектр Г» (/) OO T12(D= J Y.2(«)e-'2llf»rf« = — OO - л12(/) -JW12(D C12(Z) C12(Z)= $ C11(U)е-'3**» du--г -A»(f)e+iFa®--iij (D-IQn(D
Взаимный амплитудный «12 (Z) а» (/)-1 T12(Z)I- A12 (Z) A12 (Z) = I C12 (Z) I =
спектр -VaJ2 ff)+ чг?2(/) = V^2 (Z)+Q?2 (Z)
Фазовый спектр
Коспектр
Квадратурный спектр
Фіг (Z)
A12(Z)
^12 (Z)
A12 (Z) = J Я12 (и) e-/2"f" <*« =
— OO
OO
= у J [Y12 (") +Yi2 (- ")] X
— со
X cos 2я/« du
^12(Z)= j ^n (и) е-'2^и
du•
= Y J" [Yia(«)-Yi2(- «)] X
— со
X sin 2лfи du
F12 (Z)
L» (Z)
Q12 (Z)
L11(I)- J h2(u)e-^u du-

j J [C12 (и) + с12 (- u)] X X cos 2jiZu du
—T
Q12(Z)= |<712(u)e-/23lf"d« =

: у J [C12 («) -ct2(- и)] X X sin 2nZ« du

106
Глава 8
процесса (8.3.22) ГХіх, (Z) будет непрерывной функцией частоты в области —со f со.
Еще раз подчеркнем, что приводимое обычно в технических пособиях определение
ГЛЛ (Z) = lim CXlX2 (Z)
Г-»оо
не имеет смысла для случайных процессов, так как дисперсии действительной и мнимой частей случайной величины Cx1X2 (Z) не стремятся к нулю при Г—* со, как будет показано в разд. 9.1.
Коспектр и квадратурный спектр. Разложим уХіХг (и) на четную и нечетную части
^12 (") = [Yl2 («) "И Vl2 С — ")],
¦Фіг («) = TiYi2(")-Yi2(- ")]¦
(8.3.23)
2
Подставляя эти выражения в (8.3.22), получим
Г12(/) = Л12(/)-/?12(/), (8.3.24)
где
OO
ліг(/) = J к12 {u) cos 2nfи du (8.3.25)
— OO
и
со
; 1Pi2(Z)= J $a(u)sin2nfudu. (8.3.26)
— OO
Функция Лі2(/) называется коспектром, а функция Y12(Z)— квадратурным спектром двумерного процесса {Л"4(/), Xi(t)}. Эти же самые функции можно определить и с помощью соотношений (8.3.21) и (8.3.22), а именно:
A12 (/) = lim E [L12 (Z)], Y12 (Z) = Hm E [Q12 (Z)].
Г-»оо Г-»оо
Взаимный амплитудный и фазовый спектры. Взаимный спектр можно записать также в виде
T12 (f) = a12(/) в/ч.-»», (8.3.27)
где функции «12 (Z) і 9i2(Z) называются взаимным амплитудным спектром и фазовым спектром соответственно. По аналогии с (8.3.11) мы получаем
a12(Z)= \/A?2(Z) + ??2(Z), (8.3.28)
cp(2(Z) = arctg[-|^g-]. (8.3.29)
Взаимная корреляционная функция и взаимный спектр
107
Следовательно, взаимный амплитудный и фазовый спектры можно получить, вычисляя функции Ki2(U) и г|л2(и) по взаимной ковариационной функции [формулы (8.3.23)], затем вычисляя коспектр и квадратурный спектр [формулы (8.3.25) и (8.3.26)] и подставляя эти спектры в (8.3.28) и (8.3.29).
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 85 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed