Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
X2 (t) = J h (и) X1 (t-u)du + Z (t).
Таким образом, Xi(I) является входным процессом линейной системы, a X2(t) представляет собой соответствующий выход, сложенный с независимым шумом Z(t). Из (8.1.8) находим взаимную ковариационную функцию выхода
OO
Yi2(«) = { Yn (и — v)h (v)du, — оо^и<оо. (8.4.3)
о
Взяв преобразование Фурье от (8.4.3), получаем
Г,2(/) = Я(/)Г„(/). (8.4.4) Отсюда находим частотную характеристику
//(/) = ?-. (8.4.5)
Сравнивая (8.4.3) с (8.4.4), мы видим, что изучение линейных систем легче проводить с помощью методов Фурье. Так, свертка из (8.4.3) переходит в произведение в (8.4.4). Переписывая (8.4.5) в виде
H(D = G (!) є+"» <» = А'г(г~/п'г(/).
получаем следующие выражения для коэффициента усиления G(f) и фазы ср(/) линейной системы:
Уа*2(п + уЪ(п а12(/)
G(/) =-TTTw-=w (8-4-6>
ф(/)=агс^[--?§]• <8-4-7)
Вспоминая, что взаимная амплитуда a.[2(f) есть мера «ковариаций» между Xi(t) и X2(t) на частоте /, а Гц(/) —«дисперсия» входа на этой же частоте, мы видим, что усиление G(f) играет роль коэффициента регрессии (4.3.7), но теперь он оценивается на каждой частоте.
Квадрат спектра когерентности. Эту аналогию можно продолжить дальше с помощью соотношения (8.1.9) для автоковариации
112
Глава 8
выхода, а именно
OO OO
Y22(")= J" j h (v) h {v') Yu (« + V - V) dv dv' + yzz («).
— OO —CO
Взяв преобразование Фурье от этого равенства, получаем
r22(/)=G2(/)rn(/) + r2z(f). (8.4.8)
Это выражение отличается от (6.2.15) только тем, что к выражению, полученному из входного процесса, добавляется спектр шума Z(t). Подставляя (8.4.6) в (8.4.8), получаем
T22 (/)~~ г,, (/) = ^zz (Z)
или же
rzz(Z) = r22(/)[l ~*22(/)]> (8.4.9)
где
называется квадратом коэффициента когерентности между входом и выходом на частоте /. Функция частоты x22(Z) называется квадратом спектра когерентности.
Следует отметить сходство между (8.4.9) и уравнением (3.2.19), содержащим обычный коэффициент корреляции. Фактически коэффициент когерентности играет роль коэффициента корреляции, определенного для каждой частоты /. Таким образом, равенство (8.4.9) показывает, что когда спектр шума совпадает с выходным спектром, то коэффициент когерентности равен нулю. Другими словами, этот коэффициент равен нулю, если выход состоит из одного шума. Наоборот, если Tzz(Z) = 0, то квадрат коэффициента когерентности равен единице, а выходной спектр просто равен входному, умноженному на квадрат коэффициента усиления системы. Исключая T22(Z) из (8.4.8) и (8.4.10), получаем
42
1 + Tzz (f)/G4f) Tn (/) • (8.4.11)
Равенство (8.4.11) показывает, что квадрат коэффициента когерентности мал, когда мало отношение выходного сигнала к шуму G2(Z)Ги(/),'Tzz(Z), и близок к 1, когда это отношение велико.
8.4.3. Взаимные спектры двумерных линейных процессов
В разд. 8.1.4 было показано, что весьма общая модель двумерных случайных процессов получается, если пропустить два белых шума Zi(t) и Z2(O через систему, показанную на рис. 8.5. Авто-
Взаимная корреляционная функция и взаимный спектр
113
и взаимные ковариации этого процесса задаются выражениями (8.1.15). Мы воспользуемся ими сейчас для того, чтобы вывести соответствующие авто- и взаимные спектры. Обозначим частотные характеристики четырех систем в структурной диаграмме на рис. 8.5 через
OO
H и О)" \htl(u)e-M"dut і, /=1, 2.
— OO
Выражения для авто- и взаимных спектров можно теперь получить, беря преобразования Фурье от равенств (8.1.15). Так, взяв преобразования от первых двух из этих равенств и используя (6.2.16), мы находим автоспектры
ГхЛП = о\\НиЩ2 + o\\H{2{j)\\
r22(f) = o*\H2l(f)f + ol\H22(f)f. (8-4Л2)
Чтобы получить взаимный спектр, заметим, что последние два из равенств (8.1.15) можно объединить в одно:
OO OO
Y12 (и) = a2 J" Zt11 (v) A21 (V + u)dv + a\ J A12 (v) h22 (v + и) dv, (8.4.13)
— OO — OO
которое теперь справедливо при —оо-<!«4^оо. Взяв преобразование Фурье от обеих частей этого равенства, получаем взаимный спектр
Г.2 V) = °ЇНП (f) НП № + °К2 (/) #22 if)- (8.4.14)
Таким образом, вычисление взаимного спектра сводится к нахождению частотных характеристик соответствующего двумерного линейного процесса (8.1.14).
Частотные характеристики #ij(/) можно получить очень просто, взяв преобразование Фурье от равенств (8.1.14). Подставив Htj(f) в (8.4.12) и (8.4.14), можно получить явные выражения для авто- и взаимных спектров. Эту процедуру лучше проиллюстрировать на примере.
Пример. Рассмотрим непрерывный двумерный процесс авторегрессии
+U21X1 (O + а22Х2 it) = Z2 it).
Беря преобразование Фурье от этих равенств и используя свойство дифференцирования (П2.1.2), получаем
(ап +?nf) X1 (f) + ai2X2 if)=. Z1 if),
<h\xi if) + K + ?nf) X2 if) = Z2 if).
114
Глава 8
Эти уравнения можно решить относительно Xi(I)
у /а_ (а22 +j2nf) Zt(f)~a12Z2(f) ЛІ> (ап+ j2nf) (а22 + j2nf) - а12аг1 '
% /|ч - Q21Z1 (f) + (au+j2nf) Z2Jf) 2 (аи + j2nf) (а22 + ?nf) - а12а21 '
Аналогичным образом, взяв преобразование Фурье от (8.1.14), получим
X1 (Z) = W11(Z)Z1 (Z)+ #,2 (Z) Z2 (Z), X2 (Z) = H21(D Z1 (Z) + H22(I) Z2 (Z).
