Понятие массы в классической и современной физике - Джеммер М.
Скачать (прямая ссылка):
14 Д. Гильберт, Основания геометрии, М.—JI., 1948.
:125 Сказать следующее: «<j> представляет собой определейие а, если для каждого X1 х удовлетворяет ф, если и только если X тождествен а». На основе этого определения самой процедуры определения может быть доказана следующая теорема.
Теорема. Термин а поддается определению в только что описанном смысле, если и только если формула
(S1, х2) : ф(х J : Ьи Ъ2, ...)-ф(х2: Ъи Ъ2, . . .)—> Xi = X2
является логически доказуемой 1б.
Используя метод Падоа 1б, мы в состоянии проверить, будет ли данный термин в дедуктивной теории первоначальным или поддающимся определению. В применении процедуры Тарского к аксиоматизации механики Саймоном пусть ф обозначает конъюнкцию уравнений (а) и (Ь) в определении 3 (см. стр. 123), В обозначает систему траекторий частиц для х обозначает скаляры
(/7гь ттг2, • • Шп), которые удовлетворяют ф в терминах В. Так как, вообще говоря (как, например, в случае дизъюнктивного движения только одной частицы), численные значения масс не являются однозначно определенными, то вышеупомянутая теорема показывает, что понятие массы в процедуре Саймона не поддается определению в смысле Тарского и Падоа. Таким образом, понятие массы, несмотря на то что оно означает ненаблюдаемую величину, должно быть первоначальным понятием.
Для того чтобы избежать такого неудовлетворительного заключения, Саймон предложил интересное разрешение этой трудности в докладе, представленном Между-
16 Эта теорема представляет собой простое видоизменение теоремы 2, как показано Тарским; см. A. Tarski, Logic, semantics, metamathematics, chap. 10, 303.
16 A. P a d о а, Essai d'une theorie algebrique des nombres entiers, precede d'une introduction logique a une theorie deductive quelconque, «Bibliotheque du Congres International de Philosophie» (Paris, 1901), vol. 3; см. также «Un nouveau systeme irreductible de postulate pour l'algebre», в: «Comptes rendus du Deuxieme Cong-res International des Mathematiciens» (Paris, 1902), p. 249—256.
О методе Падоа см. E. W. B e t h, The foundations of mathematics (North Holland, Amsterdam, 1959), chap. 4, sec. 34; chap. 7, sec. 55; chap. 11, sec. 94; J. C. C. M с K і n s e у, On the independence of undefined ideas, «Bulletin of the American Mathematical Society», 41, 291—297 (1935); P. S u p p e s, Introduction to logic (Van Nost-rand, Princeton, New York, Toronto, London, 1958), p. 169.
:126 Сродному симпозиуму по аксиоматическому методу І7. Видоизменив точность определений Тарского, Саймон ввел определение, которое он назвал общей определимостью.
Определение. Формула ф (х\ , b2, . . .) обобщенно определяет экстралогическую константу а, если для каждого X при условии, когда х тождествен а, х удовлетворяет ф. Или на языке символической логики:
(х) \х = а->ф(х\ Ъи Ъ2, . . .).
Введение импликации (вместо эквивалентности, по выражению Тарского) исключает доказательность выше упомянутой теоремы и, таким образом, лишает законной силы применение метода Падоа для исследования логической (общей) определимости понятия массы.
Введение понятия массы посредством статистических расчетов заслуживает некоторых дальнейших замечаний. Как мы уже видели, никакие попытки формализовать, механику Ньютона на основе точного и явного определения массы не принесли большого успеха. Это произошло потому, что такого рода определения либо должны были основываться на понятии силы как первоначальном понятии, либо предполагать некоторый динамический закон, который явно или неявно снова ведет к понятию силы. К этому следует добавить трудности, связанные с неопределенностью выявления соответствующей инерциальной системы. Уайтхед справедливо замечает: «Мы получаем наше знание о силах, имея некоторую теорию массы, а наше знание относительно массы мы имеем на основании некоторой теории относительно сил» 18. Хотя ньютоновская механика является простейшей теорией, какую физика когда-либо создавала, и хотя для обычных физических объектов средних масштабов механика Ньютона в высшей степени справедлива, тем не менее ее логическая структура не поддается попыткам полного логического анализа, если допустить, что такой анализ предполагает явное определение содержащихся в этой структуре фундаментальных понятий*.
17 См. «The axiomatic method, Proceedings of an International Symposium», p. 446 (сноска 6).
18 A. N. Whitehead, An enquiry concerning the principles of natural knowledge (Cambridge University Press, New York, 1919), p. 18.
:127 С точки зрения этой ситуаций, вероятно, оправданным будет не настаивать на явном определении основных понятий до построения теории, но, скорее, необходимо принять значимость этих понятий посредством конструирования самой теории. В противоположность чисто гипотетико-дедуктивной теории, например аксиоматизированной геометрии, где первоначальные понятия (подобные точке, прямой линии и т. д.) могут быть взяты как неявно определяемые системой аксиом данной теории 19, в механике должны быть рассмотрены и определены семантические правила и соотнесения с опытом, и, если даже определяемое носит характер неявного, в конечном счете оно должно поддаваться определению в его количественных аспектах посредством обращения к операциональным определениям. Действительно, уже маховское определение массы согласуется с этим принципом. Мах не говорил, что представляет собой масса реально, но, скорее, продвигал неявное определение понятия в направлении количественного определения к некоторой операциональной процедуре. Более того, его определение, будучи эквивалентным третьему закону Ньютона, является составной частью теории механики, а не предшествует ей. Метод статистического вывода, показанный на примере определения массы Саймоном, ясно и прозрачно выражает ту идею, что только путем внутренних отношений с другими понятиями теории — в данном случае с эмпирически определяемыми ускорениями — определение массы становится действительно значимым.
