Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
и из (1.3.3) находим
8S ду
= -|L = (у, 1, о, Ч' = -Ц- = чт (У. I- 0" (1-3.4)
х = я + 5,.
Для того чтобы записать преобразование в явном виде, потребуем, чтобы
\-\фО
I дуд\ | ^ U-
В этом случае получаем
1 = 1 (У> О"
и, следовательно,
4 = П (2/, t)
при выполнении очевидного условия \ дч\!ду\фО. Так как предполагалось,
чтоS е С2, то отсюда \ду/дц\ Ф 0, и, следовательно, используя (1.3.2),
возвращаемся к (1.3.1).
Для наших целей весьма важным результатом является последнее из уравнений
(1.3.4), которое мы перепишем явным образом так:
K(r\(y, I, t), 1, t)=H (у, х (у, |, t), i)+ (у, I, t). (1.3.5)
Если преобразование не зависит от времени явно, т. е. St Ф О, то новый
гамильтониан является просто образом старого гамильтониана при
отображении z -
Основная проблема Гамильтона-Якоби заключается в вопросе о существовании
преобразования, генерируемого функцией S и такого, что новый гамильтониан
сводится к некоторой абсолютной константе или, что эквивалентно, к
функции, тождественно
26 ГЛ. I. ТЕОРИЯ КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
равной нулю. Другими словами, мы ищем рашение такого дифференциального
уравнения в частных производных:
ff(ff,Sy,t) + St = 0, (1.3.6)
где S = S (у, |, t). Как хорошо известно, Якоби показал, что общее
решение этого уравнения находить не нужно, а надо только найти его полный
интеграл, т. е. функцию S (у, t), завися-
щую от п произвольных постоянных 1 и такую, что | dS!d% \ ф 0. В этом
случае новые переменные rj, § являются константами, и соотношения
v\ = i\(y, х, t), l = l(y,x,t),
которые получаются из (1.3.4), соответствуют 2п интегралам движения.
Ясно, что если исходная гамильтонова система интегрируема в смысле
существования и единственности решения уравнений
я = MHl,
то производящая функция S (у, 1, t) должна существовать (при этом она
может и не выражаться через элементарные функции). Действительно, так как
решение определяет каноническое отображение z = z (g, t), где t - вектор
начальных условий, и так как для t=to ду/дг\ = 1 (единичная матрица), то
при достаточно малых 11 - г0| имеем | ду/дг\ \ Ф 0, и, следовательно,
S = ry + (t-t0)F(y,l,t) (1.3.7)
при достаточно малых в полном соответствии с соотноше-
нием (1.1.19).
Проблему Гамильтона-Якоби можно обобщить, ослабив условие того, что новый
гамильтониан должен быть абсолютной константой. С точки зрения методов
канонической теории возмущений эту обобщенную проблему уместно
рассмотреть более подробно.
Мы хотим узнать, существует ли каноническое преобразование, генерируемое
функцией S (у, t), такое, что новый га-
мильтониан соответствует системе с меньшим числом степеней свободы, чем
число степеней свободы системы, которой соответствует старый
гамильтониан.
Один из способов решения этого вопроса состоит в приведении гамильтониана
к виду
К (г), t) = Н (г/, х, t) + St(y, 1, t),
для которого
дЩдщ = 0 (1.3.8)
3. УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИ
27
при к "= 1, 2,..р < п. Получившаяся система, очевидно, сводится к
квадратурам, если р = п или р'= п-I1). Это - самое меньшее, что надо
потребовать от преобразования, но такое требование намного менее жесткое,
чем предлагаемое в методе Якоби. Можно также потребовать, чтобы новый
гамильтониан не содержал явно времени. Такая процедура в общем случае
называется методом усреднения (см. [9]) и она обычно используется, если Н
является периодической функцией времени t. Можно также легко обобщить это
понятие на случай условно-периодических функций времени. Если Н зависит
от некоторого малого параметра е и допускает тейлоровское разложение
вблизи е = 0, то можно показать, что существуют формальные ряды
относительно е, которые дают решение для S до любой желаемой степени
параметра е. Свойства сходимости таких рядов в общем случае неизвестны.
Задача существования таких рядов и их сходимости, строго говоря,
относится к теории периодических поверхностен (см. [19], [20]) и к теории
Мозера [55] инвариантных кривых при сохраняющих площадь отображениях.
Последний из упомянутых вопросов будет подробно рассмотрен в главе IV
настоящей книги. Качественное описание этих проблем можно найти в работе
Кинера [42], посвященной исследованию движения спутника в гравитационном
поле сжатой планеты. Теория Дилибертов настоящей книге подробно не
рассматривается. Этот подход на самом деле имеет отношение к изучаемым
здесь вопросам, но его описание можно найти во многих книгах (см.,
например,
[19], [33]).
Новый подход к изучению канонических преобразований был предложен в
теории Ли [45]. В задачах динамики ряды Ли были использованы в различных
случаях, и их хорошее описание, как основы исследования, можно найти в
работе Лейманиса [44]. Совсем недавно эти ряды были введены в методы
теории возмущений для нелинейных гамильтоновых систем, а затем также
распространены на случай систем обыкновенных дифференциальных уравнений,
удовлетворяющих некоторым незначительным ограничениям, причем эти
уравнения не обязательно должны иметь гамильтонову форму. Такие примеры
