Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
(1.1.8) с произвольными начальными условиями у0, (r)0 или с постоянными
интегрирования а, р. Более того, мы потребуем, чтобы матрица
Р(7) [^j
удовлетворяла условиям Липшица в некоторой области у-прост-ранства.
Строго говоря, все вышеперечисленные утверждения носят локальный
характер, однако, и это становится важным при рассмотрении каких-нибудь
приложений, эти утверждения можно распространить на некоторую область
изменения переменных. Аналогичным образом функции, которые мы будем
рассматривать, считаются непрерывно дифференцируемыми по t, вообще
говоря, при всех вещественных t.
Матрицы Лагранжа и Пуассона удовлетворяют системе обыкновенных
дифференциальных уравнений, обладающей некоторыми замечательными
свойствами. Действительно, рассмотрим систему 2п дифференциальных
уравнений
2 = ф (z, t)
и ее решение z (у, t) е С2, зависящее от 2п постоянных
интегрирования у и времени <t, в некоторой области ^-
пространства
для всех |f | < Т. Пусть J = дг[д*{ - неособенная матрица Якоби
преобразования у-*-г,которая по предположению также есть матрица
класса С2. Тогда получим
; d dz д dz , . d ' , . d , , . . dw T
J = dt Щ = di Ц (V, i) = Щ z (V, t) = щ Ф (z (V, t), t) = -gj
или
/-=?/, (1.1.15)
где G = dtp/dz - неособенная матрица размерности 2n X 2п.
Теперь будем считать
& (Y, t) = PMJ,
так что, используя (1.1.15), находим
S = JT(G'M + MG)J. (1.1.16)
Лемма. Матрица Лагранжа S' (у, t) преобразования у->2 является постоянной
тогда и только тогда, когда матрица MG симметрична.
2 Г. Е. О. Джакалья
18
ГЛ. I. ТЕОРИЯ КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Действительно, пусть матрица MG симметрична, т. е.
MG = (MGy = - GTM.
Тогда G^M + MG = 0 и 3? - 0. Обратно, пусть 3? = 0. При описанных выше
предположениях отсюда следует, что
GTM +MG --= 0
или
GTM - - MG = MTG = (GTM)T,
что и завершает доказательство.
Из (1.1.16) и доказанной леммы следует, что поток гамильтоновой системы
сохраняется (теорема Лиувилля).
Действительно, в случае если Н = H(z) является гамильтонианом, имеем
z = МН1,
так что
G = = MH-
vi матрица MG = - Нгг, следовательно, симметрическая. Отсюда получаем 3?
= 0 или
=0,
т. е. FMJ = const. Пусть 7 - вектор начальных условий г0, а /0 = /
(единичная матрица), и, следовательно,
= (1.1.17)
а также, в частности,
| /1 = const - 1,
что и доказывает теорему (случай И--1 отбрасывается по непрерывности).
Если 2п-мерный вектор z состоит из n-мерных векторов у и х (координаты и
импульсы), то более точно можно записать
/ду ду \
т__[ дуй дх0 \
\дх_ I \дуа dxj
2. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
и при t = О
Отсюда следует, что отображение z0->z можно представить в виде
Y ((r)0> У О' i) - ^ ((r)0> УО' t)i ^ ((r)0> ^0' ^ ^ ((r)о> ^)*
Эту ситуацию можно также рассмотреть с другой точки зрения. Так как при t
= 0 отображение z0->z является тождественным, то существует такая
производящая функция
Неособенное преобразование z->-?, принадлежащее классу С2, называется
каноническим, если оно переводит каждую гамильтонову систему z = MHg в
гамильтонову систему ? = МК\.
Это свойство является чисто локальным, однако опять можно быть уверенным
в полезности возможного глобального распространения такого определения и
его следствий на некоторую область фазового пространства. Пусть z = col
{у, х), ? = col (rj, 1) - векторы размерности 2п. Инвариантность
гамильтоновой формы уравнений подразумевает, что преобразование будет
каноническим тогда и только тогда, когда форма
будет полным дифференциалом для всех Н.
Из (1.2.1) мы выведем необходимое и достаточное условие каноничности
преобразования (см. [6]). Заметим, что ,(1.2.1) 2*
у = y0 + Y(x0,y0,t), x = x0 + X(x0,y0,t), (1.1.18)
где Y (х0, у0, 0) = X (х0, у0,.0) = 0, так что для достаточно малых t
имеем
S = xly + tW (x0,y,t),
(1.1.19)
что выполняются равенства
x = Sl = x0 + tWTy" y0 = SZ. = y + tWZ', (1.1.20)
а это эквивалентно соотношениям (1.1.18).
2. Канонические преобразования
П
Ф(Я)= s fc=l
(1.2.1)
20 ГЛ. I. ТЕОРИЯ КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
можно переписать в виде
Ф (H)=&Mbt (1,2.2);
Более того, для данного преобразования
6 = 6 (*, t) (1.2.3)
мы имеем
S = Jz + ?** (1.2.4)
где J - матрица Якоби J = д^/dz. Отсюда следует, что
S = JMHl + gt,
а из (1.2.2) получаем
G>(H) = (-HzMJT + ?)Mb?,
или, учитывая равенство 8? = J8z, имеем
Ф (Н) = - НгМ 3 (z) 8z + &MJ 6s,
или
Ф (Н) = - Я'м 5* (г) 6z + (t, z) 8z, (1.2.5)
где
* W "(!)'"(§)• S'* (*,.) = (|)т м (I).
Величина i?* (?, z), очевидно, является вектор-строкой, элементы которой
равны скобкам Лагранжа [?, zft].
Условие интегрируемости формы Ф (Н) для всех Н можно свести к условиям
интегрируемости таких величин
Ф (0) = 2* (t, z) 8z = 2 [t, zk] 8zft,
h
ф Ш = - 2 [^, z;] 6z? + ф (0),
I
ф (ч) = 2 [г/fc. 2i] Sz? + ф (0)"
I
ф (Vhxi) = 2Ш/?> Ч\ Ук - lxk, Xj} 8zt -+- Ф (0).
2. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
21
Отсюда следует, что
В итоге получаем
[i/i, z;] = 0 для Zi?=Xh [хк, Zi] = 0 для z, ф укг
а также
[г/ь х*\ =' - [xi, г/г] *=' const = X.
