Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
рассматривать только "орбитальную близость", не обращая внимания на
время. В действительности "временная близость" соответствующих точек чаще
всего разрушается возмущениями. По аналогии с понятием устойчивости здесь
можно сказать, что более распространенной является орбитальная, а не
ляпуновская устойчивость.
В любом случае, используя (12) в качестве опорного решения с
модифицированным вектором частот v (ха) и используя метод итераций, мы
получаем формальные ряды
С} (х0)
Х = Ха+ Jmdpv (х0) ехр (PV) *]¦
¦y^Djix о) (13)
У =-- V ((r)0) t + У о + 2d yiv (JBo) ехр [i (/Tv) t],
где v о),, е(о1 + е3со2 -[-¦•¦ Ясно, что произведения /Tv = /jvi + + /2V2
+ . • . + i"\\, стоящие в знаменателях, могут стать сколь
ВВЕДЕНИЕ
13
угодно малыми при /i, /2, .. •, ]п, принимающих все возможные
целочисленные значения. Для таких рядов Пуанкаре пришел к выводу, что они
будут расходящимися для всюду плотного множества частот, что, вообще
говоря, есть явление случайное. Колмогоров [38.1] показал, что существует
множество частот с ненулевой мерой (тем большей, чем меньшее), на котором
рассматриваемые ряды сходятся. Главным образом это следует из того, что
для всех целых чисел /1, /2, •. ., in возможно указать нижнюю границу
чисел 71V1 + /2V2 + ... +/nV", как это делается в теории диофантовых
приближений. Способ, которым этого можно достичь в рядах, будет описан в
главе II чисто формальным образом; последующие главы будут посвящены
проблеме сходимости введенных методов. Глава I посвящена объяснению
обозначений и терминологии, используемых во всей книге. Последняя глава
книги посвящена вопросу о нелинейных резонансах.
ГЛАВА I
ТЕОРИЯ КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ. ОБОБЩЕНИЯ
1. Введение
В этой главе мы будем иметь дело с терминологией и хорошо известными
утверждениями, которые необходимы для изложения результатов в остальных
главах. В задачу этой главы не входит описание гамильтоновых систем и их
общих свойств. Такое описание можно найти в различных книгах и
монографиях, среди которых мы хотим упомянуть ставшие классическими
работы Биркгофа [5], Зигеля [65], Уинтнера [69], Абрахама [1], Мозера
[56]. Мы постараемся избежать каких-либо усложнений и не будем давать
определения гамильтоновых систем на многообразиях и какие-то существенные
представления о них ие потому, что это не важно, а потому что это не
является необходимым для последующего изложения.
Сначала вспомним определения матриц Лагранжа и Пуассона. Они естественным
образом возникают в методе вариаций произвольных постоянных. Пусть
преобразование у, х-*-\\, 1 принадлежит классу С2 и является обратимым в
некоторой области 2и-мернош пространства. Векторы^, х, так же как и
векторы Т], %, имеют размерность п. Пусть также z = col (у, х) и g = =
col (tj, *) - 2и-мерные векторы. Матрица Лагранжа SB (?) определяется как
матрица
где М - единичная симплектическая (т. е. каноническая) матрица
размерности 2пУ(2п, имеющая вид
5>(?)=/тШ,
a J - матрица Якоби преобразованияг-"-?, такая, что
/ = dz/dZ,.
') col (у. х) -вектор-столбец {прим. перев.).
1. ВВЕДЕНИЕ 15
Легко проверить, что
№)Ш с-")
и, следовательно,
•2>0(S) = U" W = C-l-4)
Очевидны следующие свойства матрицы Лагранжа:
gт = pMrj z_ _ pMJ = _ ^
\S\ = |/|2,
(|41 =det4 для любой квадратной матрицы А).
Матрица Пуассона P(z) определяется формулой
Р (z) = JMJT, (1.1.5)
и легко проверить, что
(1Л-6>
так что
п
" [ dz. dz, dz. dz.\
и (z) = (*" zj) = g ^ ^ | (1.1.7)
Легко установить свойства матрицы Пуассона:
Рт = - Р,
|Р| = |/-1|я == Vj/I",
2'-'(g) = /-'Af-1(/r)"1 = J~1M(J~1)T = -Р(?).
Выражения (1.1.4) и (1.1.7) называются скобками Лагранжа и скобками
Пуассона соответственно.
Если рассмотреть систему п обыкновенных дифферециальных уравнений второго
порядка
y = f(y,y,t) (1.1.8)
и ее решение
у = у0 (*, а, Р), г/-жп(/,а. Р) = ^°, (1.1.9)
16
ГЛ. I. ТЕОРИЯ КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
соответствующее начальным условиям
у°Ф,а, Р) = у0, ж0 (0, a. f$) = у0, (1.1.10)
то легко проверить, что
дх° , , •
Для возмущенной системы >(1.1.8) имеем выражение
У = /(if. if,*) + g(y,y,t) (1.1.11)
и положим, что ее решение имеет вид (1.1.9), где, разумеется,
аир теперь зависят от времени. Отсюда следует, что
§ = ?+?" + ?р- "."•
где а, р - векторы размерности п. Далее имеем
d и дх° . дх° ' дх° ё , , " .. , • .
^^жсс + жр^/(г'-гМ) + ^(г/'гМ)-
и, следовательно,
*("°(*>">Р). *°(*,",РМ). (1.1.13)
Система 2п обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
(1.1.12) и (1.1.13) образует систему уравнений Лагранжа для вариаций
произвольных постоянных. Эти уравнения можно записать в виде одной
системы, используя, например, матрицу Лагранжа 3? (у), где -у = С°1 (а-
Р)- Тогда получим
S'(У)-У = (^г)Т g(y°(t- У)- x°{t,y), t). (1.1.14)
Ясно, что из уравнений (1.1.14) можно найти у при выполнении
обычного условия
\&М\Ф0,
означающего, что выполнено неравенство
I д (и0. х°) , л
1. ВВЕДЕНИЕ
17
которое будет удовлетворено, если считать*/0, ж0общим решением уравнений
