Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
базисные 194
- углы 89
Эквивалентность методов Ли в Цейпеля 109
- преобразований 39, 40 Эллиптического типа точки 196 Якоби матрица
14, 216
- - симплектическая 11
- теорема 11
- функция эллиптическая 260
Эйлера - Лагранжа метод 9
ВВЕДЕНИЕ
В этом введении кратко описывается последовательность, в которой мы
собираемся излагать основные проблемы теории возмущений. Здесь мы хотим
привести некоторые простые утверждения, не вдаваясь в математические
подробности относительно рассматриваемых функций. Все необходимые
предположения будут сделаны в последующих главах книги.
Следуя историческому пути развития, мы сначала рассмотрим проблему
Линдстедта [46.1] '), которая заключается в получении решения такого
уравнения:
х + со о х = е/ (х, х, t),
где 0 < ? < 1 - параметр. Решение ищется в виде рядов, не содержащих
секулярных и (или) смешанных секулярных членов. Как было обнаружено,
возможность получения решения
х = x0(t) + e?i(?) + e2Xg (f)+.--,
X = X0(t) + SXi (t) + S2X2(t) +...
приведенного выше уравнения, где Xj(t), X;(t) - ограниченные функции при
всех t^R, существенно зависит от природы функции / и ее производных до
некоторого порядка. Как было найдено
Линдстедтом, опорное решение x0(t), Xo(t) дается формулами
х0 = acos(<a?-f- а), х0 = -а <й sin (cat -f- а).
Здесь w - вначале неизвестная величина, по предположению
1) В дальнейшем при ссылках на литературу первое число означает
порядковый номер цитируемой работы в списке литературы к главам
I-V соответственно.. Второе число - номер главы, данный арабской цифрой,-
может отсутствовать, если источник приводится в конце этой же главы.
Номера статей и монографий из списка литературы, добавленной при
переводе, даются в подстрочных примечаниях и отмечены звездочкой (прим.
перев.).
8
ВВЕДЕНИЕ
представимая в виде степенного ряда
о = (c)о + e<i)i + е2(й2 + е3(йз + ...,
где (c)1, а>2, ••• - константы, зависящие от о)о, а и /. Сгрого говоря,
самыз первые попытки исследования возмущенных колебательных систем были
сделаны еще Эйлером [23.1] при рассмотрении движения Луны. Делоне [16.1]
был вторым исследователем, обнаружившим, что при уничтожении
неограниченных членов в рядах решения для таких систем большую трудность
представляет выбор опорной частоты - факт, который привел его, возможно
впервые, к систематической процедуре определения рядов которые сегодня
называются характеристическими показателями Флоке - Ляпунова. Переход от
метода последовательных канонических преобразований Делоне к методу,
использующему производящую функцию, впервые был предложен Тиссераном
[68.1]. Через некоторое время была опубликована работа Линдстедта [46.1],
результаты которой сразу же были применены Пуанкаре [57.1] к
систематической процедуре усреднения для гамильтоновых систем (не
обязательно автономных). По существу весь второй том его "Небесной
механики" посвящен этому методу и связанным с ним вопросам, среди которых
важнейшим является проблема резонансов (причем в нелинейном смысле).
Пуанкаре достиг больших успехов в обобщении всех предшествующих работ,
включая и фундаментальные работы Бохлина и Гильдена. В хронологическом
отношении дальнейшие успехи в рассматриваемой проблеме были достигнуты
опять же в небесной механике Цейпелем [105.2], обобщившим идеи Пуанкаре.
Здесь мы не будем вдаваться в детальное обсуждение всех этих работ, а
укажем только на различные обзоры рассматриваемого вопроса (Чезари
[13.1]: Джакалья
[29.1]; Кинер [43.1]). После этого прошло более десяти лет, прежде чем
похожие проблемы и задачи возникли в нелинейной теории цепей; они привели
затем к появлению метода усреднения Крылова - Боголюбова [39.1], [40.1],
который стал доступным для западных математиков благодаря усилениям
Лефшеца [67.2]. Работа Брауна [8.1] по нелинейным резонансам была хорошо
воспринята после работ Пуанкаре, занимавшегося этой проблемой; в
действительности она основана на примерах, которые Браун привел для
иллюстрации метода Бохлина. Начиная примерно с 1950 года появилась
обширная литература по методам теории возмущений и процедурам усреднения,
и специальные ссылки на эти работы будут даваться в соответствующих
местах настоящей книги. Что касается чисто аналитических работ,
направленных на исследование качественных закономерностей, то для
последнего столетия типичными являются работы, посвященные классическому
анализу явно зависящих от времени решений систем дифференциальных
уравнений.
ВВЕДЕНИЕ
9
Если даже исходить из различных точек зрения, то первым, кто пытался
понять геометрические аспекты дифференциальных систем, был Пуанкаре
[60.1]. Его предположение о существовании неподвижных точек у сохраняющих
площадь отображений, связанное с решением автономных систем, было
доказано Биркго-фом [3.1], чья работа должна рассматриваться как работа,
оказавшая наиболее глубокое влияние на развитие понятия решения
дифференциальных систем. Будучи без сомнения родоначальником топологии,
