Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
он ввел такие важные понятия, как инвариантные множества, блуждающие
точки и т. д.-все они связаны с геометрическим поведением интегральных
кривых систем дифференциальных уравнений. По-видимому, основные проблемы
в этой области были решены в знаменитой работе Мозера [55.1] о
сохраняющем площадь отображении кольца на себя, в работе Хейла
[33.1] об интегральных многообразиях возмущенных систем и в работе
Крылова и Боголюбова [39.1]. Более подробные ссылки на литературу будут
даны в соответствующих местах при изучении инвариантных множеств.
Классическими (и вероятно старейшими) методами теории возмущений являются
методы типа метода Эйлера - Лагранжа, обобщенного Пуассоном. Основной
частью их консервативных аналогов является теорема Якоби о вариации
канонических переменных. Так как метод Пуассона является паиболее общим,
то он заслуживает здесь особого упоминания, что п будет сделано по мере
исторического изложения результатов.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнении
x = f(x,t), (1)
где х и /- re-мерные векторы. Для простоты будем считать, что функция /
аналитична в некоторой области D re-мерного векторного пространства и t е
R. Пусть в D величина
о = а (х, t) (2)
будет первым интегралом системы уравнений (1). Отсюда следует, что вдоль
любого решения системы (1) в области D мы имеем
да ' . да п
а = ^х+~дГ =0'
где о - яг-мерный вектор (т^п), так что да/дх-прямоугольная матрица Якоби
размерности тУ^п. Тогда для любого aiefl имеем тождество
-?/<*• *) + 4г = °-
(3)
10
ВВЕДЕНИЕ
Рассмотрим теперь возмущенную систему
х= f{x, t)+g(x, t), (4)
где опять функция g (х, t) предполагается аналитической в области D\R.
Рассмотрим вариацию интеграла (2) вдоль решения системы (4), т. е.
о = -|г г/(*•*) + *(*, W+-W-
или, учитывая (3),
o=-^g{x,t). (5)
Уравнение (5) было в общем виде получено Пуассоном и как частный случай
содержит уравнения Лагранжа для вариации произвольных постоянных и
теорему Якоби. В частном случае дина' мической системы
• • • •
X = / (ж, X, t) + g(x, X, t)
уравнение Пуассона принимает вид
а = -^-?(ж, ж, t), (6)
дх
где а-интеграл при ^=0.Весьма интересно, что все основные теоремы
классической- механики сразу же выводятся из (6). Например, если а
является интегралом энергии
Е = -j-x2 + У (ж, t),
то отсюда следует Е • - ж, и справедливо соотношение
Е = xTg (х, х, t),
являющееся основным законом энергии и работы. Если а - интеграл
количества движения
L = х X х,
то, записав выражение для и подставив его в (6), получим соотношение
L = х X g (ж, х, t).
ВВЕДЕНИЕ
И
которое является основным законом количества движения и импульса.
Пусть система уравнений (1) является гамильтоновой (х - 2и-мерный
вектор), так что
* = МН1 (7)
где Н - Н (х, t), М - каноническая матрица размерности 2п X Х2 п:
(О I М = [-1 О
а / и О - единичная ц нулевая матрицы размерности п X п. Положим
Н.= Н0+Ни
Если о - первый интеграл системы (7) при Н = Н0, т. е. о находится в
инволюции с Но, то
: (8)
дх ^ дх '
Если, кроме того, матрица Якоби J = да/дх является симплекти-ческой (т.
е. преобразование каноническое), то отсюда сле-
дует соотношение
являющееся утверждением теоремы:
Теорема Якоби. Если а является 2п-мерным вектором, то уравнения (8)
являются уравнениями Лагранжа для вариаций произвольных постоянных в
случае не зависящих от времени сил.
Классическим подходом к решению уравнений (9) является попытка искать а в
виде степенных рядов по некоторому малому параметру и таким образом
сводить задачу к методу последовательных приближений. В большинстве
случаев эта процедура приводит к появлению секулярных и смешанных
секулярных членов, и, следовательно, эти ряды не будут сходящимися для
всех моментов времени. Если рассматривать только ограниченные промежутки
времени, то в конце концов сходимости можно добиться; по-впдимому, самой
ранней работой, посвященной этому вопросу, является работа Макмиллана
[71.2]. Мы ссылаемся на эту работу, так как она простая и довольно
строгая.
В большинстве достаточно сложных методов усреднения (для гамильтоновых
систем) предполагается, что функция Гамильтона
12
ВВЕДЕНИЕ
2л-периодична по каждой из угловых переменных z/i, . . уп п
представляется сходящимся рядом Фурье
Н = 2 Aj (х) ехр (ру), (10)
У
где / == (/ь j2, jn)T - целочисленный вектор.
Уравнения, соответствующие функции Гамильтона (10), имеют вид
Если рассматривать только часть функции Н, соответствующую / = 0, т. е.
Но = Aq (х),
то система уравнений (11), очевидно, является интегрируемой, и х = х0, у
= со (х0) t - у0, (12)
где
"г (жо) ^ дНa!dxi |я_*0.
Если в некоторой области величины А} (х) при / =?= О таковы, что их
производные малы (в некотором смысле) по отношению к соi(x), то величину
Н - Н0 можно рассматривать как возмущение. При классическом подходе
говорят, что если эта ситуация имеет место, то решение уравнений (11)
никогда не уходит слишком далеко от решения (12). Такое предположение в
данном случае, очевидно, неверно и редко подтверждается, даже если
