Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
F (х {у, s), s) = ж,
Fw = y, F(n){y) = X(n){y),
х = у + 2 *(я) (у)-
п= 1
Рекуррентные соотношения (1.7.21) с учетом (1.7.8) дают
1
х^(у) = - 2 cT^1Tm(y)^xj-m<h(y),
ду'
m=1 п_, (1-7-23)
^И) (У) - (У) - 2C"-i i (").
3=1
где
- ^Й) (У).
Применения полученных выше результатов будут описаны в следующей главе,
где мы будем иметь дело с проблемой интегрирования нелинейных систем
обыкновенных дифференциальных уравнений.
8. Замечания
Линдстедт [46] показал значение развития метода теории возмущений,
который дает возможность исключить секулярные и смешанные секулярные
члены при исследовании возмущенных гармонических осцилляторов. Этот метод
он описал различными способами, но всегда подразумевалось, что
возмущающие силы должны быть четными или нечетными функциями входящих в
них угловых переменных. Вскоре это ограничение было снято Пуанкаре [57-
60]. В своих прославленных "Новых методах" (т. 2) [58] он развил
канонический аналог метода Линдстедта, который дажб на сегодняшний взгляд
кажется очень общим и детально разработанным. Однако ясно, что основная
идея метода Пуанкаре восходит к работам Делоне [16] и некоторым
дополнениям Тиссерана [68] к теории движения Луны, развитой Делоне. В
действительности можно даже вернуться ко второй теории движения Луны,
разработанной Эйлером [23]. Последний, очевидно, отдавал себе отчет (и
это видно при сравнении двух
48
ГЛ. I. ТЕОРИЯ КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
его лунных теорий между собой) о значении разложений частот возмущенных
систем в степенные ряды по малому параметру задачи. Эти теории оказали
большое влияние на работу Пуанкаре [58]. Заслуга Цейпеля состоит, главным
образом, в применении метода Пуанкаре к теории движения хорошо
определенных систем, хотя систематическое выделение членов разного
периода при разложениях возмущений безусловно является важным вкладом в
теорию возмущений, особенно если учесть тот факт, что различные
короткопериодические колебания малоинтересны, а наибольшее значение имеют
долгопериодические или секулярные члены. Вообще методы усреднения (в том
смысле, в котором они употребляются в книге Чезари [12], [13]) были
весьма популярны в небесной механике, хотя и без изучения проблемы их
сходимости. Возможно, это произошло из-за вполне определенных утверждений
Пуанкаре о расходимости рядов Линдстедта. Такие ряды использовались и
продолжают использоваться для достаточно точного прогноза положения
различных небесных тел. Крылов и Боголюбов [39], [40] дали некоторые
оценки ошибок, получающихся при отбрасывании членов iy>iine некоторого
порядка, а как следствие новых успехов в небесной механике в 60-х годах
эти оценки были улучшены Кинером [42], [43]. До некоторой степени
удивительно, что в западной литературе существует огромный пробел в
описании проблем, связанных с линейными и нелинейными колебаниями,-
область, весьма хорошо представленная в советской литературе, особенно
начиная от работ Ляпунова и до 1950-х годов. Вся небесная механика
развивалась в результате использования имевшихся к концу прошлого века
достижений классического анализа, а также результатов из нелинейной
теории цепей, и похоже, что механические системы для западных математиков
не являются, чем-то очень привлекательным. Выдающаяся работа Чезари [12]
в 1940 году не сразу получила законное признание, в то время как в ней
впервые содержалось доказательство сходимости метода усреднения для
широкого класса задач. Интересные работы Гэмбилла [24] - [27] и Хейла
[30] - [33] появились болеее чем через десять лет1). Работы Биркгофа [3]
-[5], Зигеля [64], [65]и Уинтнера [69] были больше направлены на
математические аспекты качественных свойств динамических систем.
Одновременное изучение Биркгофом пространственного движения в
ограниченной задаче трех тел и численные эксперименты Стремгрена [66]
были оценены совсем недавно и обобщены в ценной работе Себехея [67].
>) Заметим, что основные теоремы работ [12, 24 - 27, 30], доказанные при
помощи метода сжимающих отображений, позднее были естественным путем
получены В. А. Якубовичем (см., например, [22*]) только на основании
теорем Ляпунова (прим. пере в.).
8. ЗАМЕЧАНИЯ
49
Мультон [53] и Макмиллан [47] также должны фигурировать в списке ученых,
которые получали одновременно и теоретические, и численные результаты.
Аналогично Адамс и Дарвин [15]. Метод Пуассона [61] вариации интегралов
движения является одним из немногих методов, использовавшихся в течение
долгого времени. В современной литературе он был возрожден Кирхом [41] ив
связи с разными проблемами и под разными названиями упоминается в работах
Дэнби [14], а также Брауэра и Клеменса [7]. Недавно во многих работах он
появился под названием Универсальных Переменных в ньютоновской задаче
двух тел1). Использование векторного и матричного исчисления также еще
встречается редко в книгах, написанных более чем через сто лет после
окончательной разработки этого аппарата. Книги Зигеля [65] и Абрахама [1]
