Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
(1.2.6)
Последнее соотношение получено с использованием первых трех выражений,
откуда, применив тождество Якоби, находим
В матричных обозначениях условия (1.2.6) можно переписать в виде
Так как по предположению |/| Ф0, то константа X не может быть равной
нулю. Соотношение (1.2.7) выражает необходимое и достаточное условие
каноничности преобразования. С другой стороны, так как Р{г) = -¦ 3? (г),
то это условие может быть записано также с помощью матрицы Пуассона в
виде
Достаточность условия сразу же следует при подстановке (1.2.7) в (1.2.5),
что дает
Ф (Я) = ШгЬг + g * (f, z) 6z = б (кН + W), (1.2.9)
где W (z, t) - функция, удовлетворяющая равенству
и являющаяся полным дифференциалом. При этих предположе* ниях легко
сделать следующее заключение.
% (*) = PMJ = Ш.
(1.2.7)
Р (*) = JMP = ХМ.
(1.2.8)
Wz8z - S'* (t, z) 8z = Ф (0)
(1.2.10)
22 ГЛ. I. ТЕОРИЯ КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Теорема (Якоби-Пуанкаре). Необходимым и достаточным условием каноничности
неособенного преобразования z->?, принадлежащего классу С2, и того, что
новый гамильтониан имеет вид
K>=kH + W, (1.2.11)
является условие: форма
\|э = Kx^dy - |Tdi] -I- Wdt (1.2.12)
есть полный дифференциал.
Действительно,
ч>=-гЦ-) * - г -Й-+[w - г ?) *
и условия интегрируемости для г|з имеют вид
JL [- |т J?n\ = JL (w _ ?т
dt { 5 дх) дх\у 5
dt
дг\
ИГ
или в покомпонентной форме
[zk, Zi] \= О (zk Ф xh zk ф xk),
[г/с >= К, [i, zk] = dW/dzk,
что и завершает доказательство.
В заключение получим соотношение Якоби - Пуанкаре. Из XI.2.12) находим
г|> = ЪвЧу - |Tdrj + (К - Ш) dt,
и, следовательно, для каноничности преобразования необходимо к
достаточно, чтобы функция гр являлась полным дифференциалом, т. е.
%xTdy-tTdv\ + (K-XH)dt = dF, (1.2.13)
где все функции считаются зависящими от переменных rj, Множество всех
матриц А, удовлетворяющих условию
АТМА >=. М,
образует группу (по отношению к умножению матриц), которая называется
симплектической группой.
2. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
23
Случай К Ф 1 обычно исключают из рассмотрения. Канонические (и,
следовательно, симплектические) преобразования с 'к ф 1 еще и потому
обычно не рассматривают, что они могут быть получены в виде произведения
обычного канонического преобразования (А, >= 1) и очень простого
канонического преобразования (К Ф 1)
1 = -%х, г1=г/,
для которого в этом случае
т _ д (л. I) _ I1 0 V ¦'о д{у,х)-\0 ~и}'
легко видеть, что
JlMJQ = Ж.
Этот простой прием описан в книге Зигеля [65].
Исключая в дальнейшем случай К ф 1, необходимые и достаточные условия
каноничности запишем в одном из двух видов:
3? (*) = PMJ = М, Р (я) = JMJт = М, (1.2.14)
где
г _ gg (", t) dz ¦
Условие Якоби-Пуанкаре запишется тогда так:
xTdy - |Tdrj + (К - H)dt = dF. (1.2.15)
Если преобразование не зависит явно от времени t, то оно называется
полностью каноническим, а если dF*= j0, то однородным1).
Из результатов, полученных в § 1, мы также можем заключить, что
преобразование, определяемое решением гамильтоновой системы уравнений и
отображающее фазовое пространство на себя, является каноническим.
Свойство сохранения объема было уже установлено выше. Тогда в более
строгом виде зти утверждения можно сформулировать так.
Пусть z == МН1 - гамильтонова система уравнений, и пусть существует
единственное решение z = z(?, t), проходящее через
*) Под однородным автор, по-видимому, понимает такое каноническое
преобразование, при котором координаты и импульсы не "перепутываются", т.
е. координаты переходят в координаты, импульсы - в импульсы: х - *<5. О,
У = <)• Иногда такие преобразования называют еще то-
чечными каноническими преобразованиями. См., например, [44.2], [1*], [2*]
(прим. перев.).
24
ГЛ. I. ТЕОРИЯ КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
точку z = ? при t = t0. Предположим, что векюр-функция z (?, t)
принадлежит классу С2 относительно 2п + 1 переменных z, t в окрестности
точки и при достаточно малых |?-?о|. Тогда
отображение определяемое решением z=z(?, t) , будет со-
хранять объем и будет каноническим.
3. Уравнение Гамильтона - Якоби. Обобщения
Рассмотрим неособенное, принадлежащее классу С2, преобразование
У = У(П> 1. г)> (r) = (r)(ц, 1, *), (1.3.1)
и пусть в частном случае ')
|-|~|#0, 1ч -ПоII < б, (1.3.2)
т. е. локально можно разрешить первую систему уравнений относительно f] и
получить
11 = 11 (г/, 1, г),
и, следовательно,
х = х(у, |, t).
Если существует функция S (у, t), такая, что
d2S
фО
dydl
и 5еС2, то преобразование, определяемое формулами
x = STy, т| = S\, является каноническим, а новая функция Гамильтона имеет
внд К (т), I, t) = Н {у (г), 1, t), х (г), I, г), t) + (у (tj, I, t), 1,
t).
Действительно, подставляя в (1.2.15) дифференциальное тождество
|Tdrj = d (|Trj) - rjTd|,
!) Такое каноническое преобразование называется свободным (прим. перев.).
3. УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИ
25
получим
x'dy + rjTd| + (К - Н) dt = d (F + 1тт|). (1.3.3)
Если положить
5 = ^ + 1*4 = 5 (у, i;t)r
то из
ds J , ds , ds ~ ду у ^ ^ + at '
