Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
говоря, малого; при этом решение бывает известно, когда этот параметр
равен нулю (или любому другому фиксированному числовому значению). В
терминах описанной в предыдущем параграфе теории преобразований Ли это
означает, что генератор преобразования может явно зависеть от параметра
е. Такую зависимость можно учесть введение*! оператора [17]
имеет вид
z = ехр (гЬ8) Б,
? = exp(eL_s)z.
(1.4.25)
5. Преобразование Ли, зависящее от параметра
(1.5.1)
со следующими очевидными свойствами:
b)
c)
d)
A s(af + pg) = aAs/ + pAsg, As(f-g) = f • Asg+g-As/,
A s(f,g) = (A sf,g) + (/.Asg),
ASAS-/ = AS'AS/ + L(S,<S)f + L " /,
i)g-
(1.5.2)
5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛИ, ЗАВИСЯЩЕЕ ОТ ПАРАМЕТРА
35
где
S = S (z, е), S? = dS/dг.
Также разумно определить п-ю итерацию оператора As/ с помощью формул
As/- As (^s lf)i A %f = f.
Легко получить соотношения, соответствующие свойствам (1.5.2). Введем
такие определения:
/п(?-0)= [A's(g,E)/(?, 6)]е=0 (1.5.3)
и новый оператор
оо
Esf=2 -J/"(S,°). (1.5.4)
Jl-0
Очевидно, что если существует конечная величина А, такая, что
/.(5, 0) <А"
для ? из некоторой окрестности точки ?о, то ряд (1.5.4) сходится.
Следующие соотношения легко проверить:
a) Es(af + Pg) = aEgf + P^s S,
b) EsU'g) =Esf-Esg, (1.5.5)
c) Es(f,g) = (Esf, Esg).
Так же, как ранее это было сделано для оператора Ls, можно теперь
показать, что преобразование g, e->z, определяемое формулами
оо
z = ^s(g) = (1.5.6)
71=0
является каноническим и описывается сходящимися рядами. Для определения
генератора приведенного выше преобразования докажем следующую теорему.
Теорема. Преобразование z - Es(t,) является решением гамильтоновой
системы уравнений
Д ""(#)'• (i-5.7)
3"
36
ГЛ. I. ТЕОРИЯ КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
соответствующим начальным условиям z = ? при г = 0. При этом функция
S(z,e) связана с Es{t) формулами (1.5.4) и
Предполагая преобразование z(?, е) вещественным и аналитическим, получаем
Э'го и завершает доказательство теоремы.
Преобразование вещественной аналитической функции / (z, е) при
каноническом преобразовании z = z (?, е) = Ев (?), определяемом формулами
(1.5.6), записывается с помощью такого простого соотношения:
Действительно, вдоль решения z = z (?, е) системы (1.5.7), проходящего
через точку z = ? при е = 0, как следует из (1.5.10), имеем
(1.5.3).
Действительно, рассматривая (1.5.1), имеем
где 2 = col{у,х). Из (1.5.7), где S = S(?, е), находим
так что
д ,с. " dzdy . dzdx , dz dz
A sz^*) = Tyte+Txd? + Tz-te-
(1.5.8)
(1.5.9)
а при e = 0 это дает такие соотношения:
(1.5.10)
так что, используя (1.5.6), находим
f(Es(l), в) = ЕвПЪ, в).
(1.5.11)
5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛИ, ЗАВИСЯЩЕЕ ОТ ПАРАМЕТРА 37
Следовательно, из определения Es получаем соотношение /(z (S,e), e) =
?s/(g,e),
которое совпадает с (1.5.11).
Интересным частным случаем правила , преобразования
(1.5.11) является случай, когда 5(?, е) и /(?, е) представляются
степенными рядами по е, т. е.
#•
S(^) = 2^5"+'(r)- (1.5Л2)
71-0
СО
/(&.*) = 2 ¦?/"(&)• (1-5-13)
71=0
В этом случае введем определение
LSp = Lp (p~z? 1)?
так что с помощью результатов предыдущего параграфа найдем
оо
i /к.") = 2 тгма
71=0
И
оо 71
Lsf (Si е) = 2 "^Г 2 CnLm+ifn-т (?,).
п-0 ' рг=0
Тогда, представляя As/ в виде ряда
оо
bsf='%^fn)(Q,
71-0
находим
№ (S) = fn+1 (g) + 2 C^Lm+ifn-m (Б)
m=0
л, следовательно,
(S) = h + ^i/o = /i + (/о, Si)-
Вводя аналогичным образом ряды
38
ГЛ. I. ТЕОРИЯ КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
находим
Д2) (g) = fn\-i (5) + s CnLm+lfnLm (g)
m=0
и, следовательно,
/<o2'(g)=/(iI, + b1/(o1> или, используя выражения для fo \ fi\ получаем
/о2) (S) = /. + 2 (h, S,) + (/0, 5а) + ((/0, 5Х).
Таким образом, получаются общие рекуррентные формулы преобразования
функции / (z, е) при преобразовании, задаваемом рядами Ли с генератором S
(z, е) в случае, когда обе эти функции являются вещественными
аналитическими функциями всех переменных, а е берется из некоторой
окрестности точки е = 0:
fn (S) = fn+il) + 2 Cbm+l/n-^. (1-5.14)
m=0
Эту формулу можно проиллюстрировать следующим символьным треугольником
То
h~+fP
I I
и-+ГР-+№
I I i
/3-f21)-/i2)-/(o3) i i 1
Интересным частным случаем является закон преобразования вектора z =
col(y,x). Каноническое преобразование задается формулами
ОО
У = ?s (л) = 2 17Г Л(оп) (?, 0),
п:° ' (1-5.15)
(r) = ^s(i) = 2-S-^on)(S,0),
п=0
6. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
39
где коэффициенты ijo"> = Чо"* (Si 0) и |on) = |on) (S, 0) определяются в
результате описанной выше рекуррентной процедуры. В (1.5.15) очевидно
ч"0) = т] и |(00) =
Все описанные выше процедуры можно обобщить на случай явной зависимости
канонического преобразования от времени. Один из способов получить этот
результат заключается в том, чтобы принять время за добавочную
каноническую координату, тогда сопряженным импульсом будет сам
гамильтониан1). Такой путь сразу же приводит к алгоритму, описанному
детально в работе Депри [17].
6. Эквивалентность преобразований
В предыдущих параграфах мы описали несколько способов получения
