Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
показывают эволюцию классических математических представлений одних и тех
же проблем в наши дни. Определение матриц Лагранжа и Пуассона вообще
трудно найти где-нибудь, и приходится ссылаться на работы по квантовой
механике и теории поля. Доказательство условий симплектичности для
канонических преобразований весьма упрощается при использовании матричных
обозначений. Связь между анализом нелинейных цепей, методами нелинейной
механики и классическими методами усреднения в небесной механике вполне
отчетливо показана в работе Чезари [13]. Эквивалентность метода Крылова -
Боголюбова - Митропольского и метода Цейпеля впервые показана в работе
Бурштейна и Соловьева [9]. Усилия по созданию наилучшей теории движения
искусственных спутников до некоторой степени инициировали появление новых
исследований по аналитической и геометрической теориям. После I960 года
стало ясно, что появились два встречных потока исследований в теории
нелинейных колебаний и в небесной механике. Ключевые работы в этой
области выполнили Мозер [54] - [56], Хейл [30] - [33] и Дилиберто [18] -
[21], а в Советском Союзе - Колмогоров [38], Арнольд [2] и Мерман [48].
Важный шаг в сторону (и вперед) от работ Пуанкаре и Биркгофа был сделан
Хори [34], который использовал канонические отображения Ли. Всего за год
до этого ряды Ли использовались в работе Леймани-са [44], посвященной
изучению движения твердого тела, однако без попыток применения методов
теории возмущений. Распространение этих результатов на неканонические
системы было осуществлено в докладе Хори [35] и независимо в работе
Кэмела [37]. Однако такое обобщение является несущественным, так как
любую систему можно записать в гамильтоновой форме, на что впервые указал
Дирак [22]. Этот факт был хорошо известен исследователям по теории
оптимизации и теории управления, хо-
]) Об Универсальных Переменных см., например, [3*] (прим. перев.). 4 Г.
Е. О. Дшакалья
50
ГЛ. I. ТЕОРИЯ КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
тя большинство прикладных математиков, работавших в затронутых в
настоящей книге областях, ничего об этом не знали. Ранними работами в
этой области, насколько нам известно, являются работы Минера, Тэпли и
Пауэрса [52]. Наконец, операции с формальными рядами, как с обычными
сходящимися, обосновываются, например, в работе Картана [11]. По-
видимому, это не первая работа, но одна из лучших.
ЛИТЕРАТУРА
1. Abraham R. Foundations of Mechanics.- Philadelphia: W. A. Benjamin
Inc., 1967.
2. Арнольд В. И. Малые знаменатели п проблемы устойчивости движения
в классической и небесной механике.- УМН, 1963. т. 18, №-6, стр.
91-492.
3. Birkhoff G. D. Proof of Poincare's geometric theorem.- Trans. Amer.
Math. Soc., 1915, vol. 14, N 1, p. 14-22.
4. Birkhoff G. D. The restricted problem of three bodies.- Rend Circ.
Mat. Palermo, 1915, vol. 39. p. 1-115.
5. Виркгоф Дж. Д. Динамические системы.- М.-Л.: Гостехиздаг,
1941.
6. В г е v е s J. A. A new proof of the conditions for a canonical
transformation. Seminars Univ. of Sao Paulo, 1968.- In: Celest.
Meeh., 1972,
vel. 6, No. 1.
7. В pay эр Д.. Клеменс Дж. Методы небесной механики.-М.: Мир, 1964.
8. Brown Е. W. Elements of theory of resonance.- Houston: Rice Inst.
Publ., 1931. N 19.
9. Бурштейн Э. Л., Соловьев Л. С. Гамильтониан усредненного движения.-
ДАН СССР, 1961. т. 139. 4. стр. 855-858.
10. С a m р b е 11 J. A.. J е f f е г у s W. Н. Equivalence of the
perturbation theories of Hori and Deprit.- Celest. Meeh., 1970, vol. 2, N
4, p. 467-473.
11. Cartan E. Elementary theory of analytic Functions of one or several
complex variables.- Massachusetts: Addison-Wesley Reading, 1963.
12. Cesari L. Sulla stabilita delle soluzioni dei sistemi di equazioni
diffe-renziali lineari a eoefficienti periodici. Atti Accad. Ital. Mem.
Clas. Fis. Mat. e Nat., 1940, t. 11, p. 633-692.
13. Ч e з a p и Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений
обыкновенных дифференциальных уравнений.-М.: Мир, 1964.
14. Dan by J. М. A. Fundamentals of celestial mechanics.- New York:
MacMillan, 1962.
15. Darwin G. H. Scientific papers.-London. Cambridge Univ. Press,
1911.
16. Delaunay С. E. Paris: Mem. Acad. Sei., 28, 29 (entire volumes),
1860-1867.
17. Deprit A. Canonical transformations depending on a small
parameter.- Celest. Meeh., 1969, vol. 1, № 1, p. 12-30.
18. D i 1 i b e r t о S. P.. H u f f о r d G. Perturbation theorems for
nonlinear ordinary differential equations.- Ann. Math. Studies, 1956,
vol. 36, p. 207-236.
19. Diliberto S. P. Perturbation theorems for periodic surfaces, I and
II.- Rend. Circ. Mat. Palermo, 1960, vol. 9, p. 265-299: 1961, vol. 10,
p. 111.
20. Diliberto S. P., Kyner W. Т., Freund R. F. The application of
periodic surface theory to the study of satellite orbits.- Astron. J.,
1961, vol. 66, N 3, p. 118-128.
ЛИТЕРАТУРА
51
21. Diliberto S. P. New results on periodic surfaces and the averaging
principle. US-Japanese Semin, on Diff. Func. Equas.- Philadelphia. W. A.
