Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
изложением основных теорем преобразований Ли для случая, когда функции /
и S зависят от 8. Основной целью является получение соотношений (1.4.3) и
(1.4.4). Изложение проводится так же, как и в работе Депри [17].
Рассмотрим вещественные аналитические функции / и S, зависящие от 2п
канонически сопряженных переменных. Скобки Пуассона (/, S) можно записать
в виде
где, как обычно, производная скалярной функции по вектору предполагается
строчной матрицей. Можно определить 2ге-мер-ный вектор z = (у, х) и
двумерный вектор (/, S) и записать матрицу Пуассона размерности 2X2
Pz{f,S) = JzMJl, (1.4.11)
где S)/dz - матрица размерности 2X2п а М - единич-
ная симплектическая матрица размерности 2п X 2и, Тогда
pz(f,S)^(f,s)t[_°l 10).
Для нетривиального канонического преобразования z = z(5) имеем
FMJ >= М,
4. РЯДЫ ЛИ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИ 31
где J = dz/d%. Тогда
= JZJ. (1.4.12)
Теперь получаем
РЕ (/, S) = JiMJl = JzJMTJl = JzMJl = Рг (/, S),
что показывает инвариантность матрицы Р относительно канонических
преобразований.
Производная Ли функции /, генерируемая функцией S, имеет вид
Lsf= (f,S). Х1.413Х
Так как Lsf является билинейной формой относительно /, S,
то отсюда вытекают следующие свойства (а, [5 - постоянные числа).:
a) Ls (а/ + pg) = aLsf + $L sg,
b) Ls(f-g) - f-Lsg + g-Lsf,
,(1.4.14)
c) Ls (/, g) = (/, Lsg) + (Lsf, g),
d) LsLs,f = Ls'Lsf + LiS,s')f-
Если ввести определение Lsf = /, то n-я производная Ли будет иметь вид
Lsf = ЬвЫЧ-
Для этой производной легко проверить следующие свойства:
a) Lns(af + $g) = aLnsf + $Lnsg,
b) Lns(f.g)= S (1-4.15)
171=0
о) "".(i-icw/.m).
171-0
Если S - вещественная аналитическая функция, то можно выбрать такое
достаточно малое число е, что ряды
00
2-C^/ = exp(e?fi)/ (1.4.16)
п=0
будут сходящимися для аналитических функций /.
32
ГЛ. I. ТЕОРИЯ КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Опять нетрудно проверить следующие свойства:
a) exp(sLs) (а/ + Pg) = a exp(eLs)/ + Р exp(eLs)g,
b) exp(eLs) (/ • g) = exp(eLs)/ • exp(eLs)g,
(1.4.17)
c) exp(eLs) (/, 5) = (exp(eZg)/, exp(eLs)g).
Из последнего свойства вытекает следующее утверждение.
Теорема. Пусть е - постоянный параметр. Рассмотрим преобразование z =
z(t,) 2п-мерного вектора z = (y, х), где у, х- канонически сопряженные
переменные, в 2п-мерный вектор 5 = (л, Ю- Если существует такая
вещественная аналитическая функция S (z), что ряды
g = exp (BLS) z (1.4.18)
сходятся в некоторой области z-пространства, то преобразование будет
каноническим.
Заметим, что по существу эта теорема совпадает с теоремой Ли,
сформулированной выше. Доказательство рассматриваемой теоремы немедленно
следует из таких соотношений:
?, t=i exp (eLs)z,
и из формулы (1.4.17), примененной к выражению
(?., ?,) >= (exp (eLs)z" exp (eLs)z,)= exp(eLs) (z" z,)
или
P(g) = exp (eLs)P (z).
Так как z - канонический набор переменных, то Р (z) = М и, следовательно,
Р&) = М,
т. е. ? - также канонический набор переменных.
Другим важным результатом является закон преобразования произвольной
функции переменных z в функцию переменных ?.
Теорема. Образ каждой вещественной аналитической функции f (z) при
преобразовании
z - ехр (гЬв) g (1.4.19)
есть функция
Ш, s)= / (exp (els) g) = exp (sLs) f (g). (1.4.20)
4. РЯДЫ ЛИ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИ
33
Действительно,
где df/dz - строчная матрица \\df/dzk\\, a Lsz- матрица-столбец || (zft,
S) ||.
Дифференцируя (1.4.19) по 8, находим
dz _ 'V em Tm+lf т m=0
и, следовательно, получаем
т 7 (г r\ 8f dz - df
^si e; - dz d& - ag .
Повторяя эту процедуру тг раз, находим
~ Йп4
Lit =
Ы деп
или из (1.4.20)
dnf
деп
г-0
= LnJ($,0) = /(g). (1.4.22)
Следовательно, тейлоровское разложение функции f (?, е) имеет вид
оо
8й dnf
8=0 п=0
Г (S, е) = 2
л л! Ясп
п=0
= 2 ^TLsf (?) = ехр (eL5) / (g),
что и завершает доказательство.
Из этой последней теоремы можно получить следствие, которое в конечном
счете устанавливает справедливость подхода Хори, рассматривавшего S как
функцию 8.
Следствие. Если функция f(z, е) допускает разложение в ряд Тейлора в
окрестности точки 8f= 0, т. е.
оо
/(z'8) = 2-S-M*), (1-4.23)
п= 0
то после применения канонического преобразования (1.4.19) получим
00 00
/ (2 (S, е),е) = 2?2 СпЩп-т (S). (1.4.24)
п=0 т=О
3 Г. Е. О. Джакалья
34
ГЛ. I. ТЕОРИЯ КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИИ
Действительно, из (1.4.20) получаем соотношение
после подстановки которого в (1.4.23) и после собирания членов
одинакового порядка по е приходим к желаемому результату.
Наконец, докажем следующую теорему о преобразовании, обратном к
каноническому преобразованию, определяемому рядами Ли.
Теорема. Преобразование, обратное к преобразованию
Действительно,
? = exp (eLs-) z = exp (гЬ8.) (exp (eLs) ?) = exp (e (Ls, + Ls)) ?.
Оператор exp (e (Ls. Ls)) должен соответствовать тождественному
преобразованию, для которого Ls, + Ls = 0. Следовательно, S'¦= -S, что и
требовалось доказать.
Как уже раньше говорилось, канонические преобразования, связанные с
методами теории возмущений, обязательно зависят от параметра, вообще
