Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
t. 3, p. 57.
58. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики т 1,2. Избр. тр., М:
Наука, 1971-1972.
59. П у а н к а р е А. Лекции по небесной механике.-М.: Наука. 1965
60. П у а н каре А. Об одной геометрической теореме. Избр. тр.-М.:
Наука, 1972, т. 2.
61. Poisson S. D. Memoire sur la variation des constantes arbitraires.-
J. Ecole Polyt., 1834, t. 3, p. 266-344.
62. P о w e r s W. F., Tapley B. D. Canonical transformation
applications to optimal trajectory analysis.- AIAA J., 1969, vol. 7, N 3,
p. 394-399.
63. S h n i a d H. The equivalence of von Zeipel mappings and Lie
transforms.- Celest. Mech., 1969, vol. 2, N 1, p. 114-120.
64. Зигель К. Л. Об интегралах канонических систем.-Математика, 1961,
т. 5, № 2, стр. 103-117.
65. 3 и г е л ь К. Л. Лекции по небесной механике -М : ИЛ. 19.")!'
66. Stromgren Е. см. стр. 551-553 в [671.
67. Szebehely V. Theory of orbits - the restricted problem of three
bodies.- New York: Acad. Press, 1967.
68. T i s s e r a n d F. Traite de mecanique celeste.- Paris: Gauthier-
Villars, 1896, 4 vols.
69. Уинтнер А. Аналитические основы небесной механики.- М.: Наука,
1967.
ГЛАВА II
•
МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЯ ДЛЯ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ. ОБОБЩЕНИЯ
1. Введение
Эта глава имеет две главные цели. Во-первых, описываются известные методы
канонической теории возмущений и приводятся некоторые примеры, на которых
основываются теоремы в главах III и IV. Во-вторых, описываются некоторые
основные результаты, касающиеся итеративных процедур, которые играют
очень важную роль в методах усреднения. Важнейшие, часто пересекающиеся
друг с другом, результаты в этих областях получили Линдстедт [70],
Пуанкаре [91], Уиттекер [102], Зигель [96], Крылов [61], Боголюбов [7],
Колмогоров [59], Арнольд [3, 4], Дилиберто [32], Плисс [89], Кинер [63],
Мозер [78], Хейл [47]. Многие из этих результатов сообщили и подробно
описали в своих ценных книгах Зигель [98], Уинтнер [104], Немыцкий и
Степанов [88], Чезари [15], Хейл [50], Абрахам [1], Бирк-гоф [6],
Боголюбов и Митропольский [8], Лефшец [67], Минор-ский [74], Сансоне и
Конти [95], Стернберг [99].
Общепринятым, хотя и долгое время не упоминавшимся, фактом является то,
что методы усреднения были введены впервые Линдстедтом [70]. Вполне
возможно, что идеи Линдстедта появились в результате усилий Эйлера [34],
предпринятых им для решения проблемы движения Луны.
В линейных периодических системах метод усреднения сразу же приводит к
определению характеристических показателей Флоке - Ляпунова, а в
нелинейных гамильтоновых системах - к разделению "завязанного" уравнения
Гамильтона - Якоби и, следовательно, к определению переменных действие -
угол1). В общих нелинейных системах (т. е. не обязательно в
гамильтоновых) метод усреднения приводит к разделению движения в
расширенном фазовом пространстве, которое можно назвать ко-тангенциалъпым
пространством исходного пространства системы.
Относительно гамильтоновых систем общеизвестен и общепризнан тот факт,
что, вообще говоря, они являются неинтегри-руемыми. Тем не менее, такое
утверждение надо рассматривать
*) По-видимому, автор имеет в виду применение метода усреднения только к
устойчивым системам. Для неустойчивых систем это утверждение ошибочно
(прим. перев.).
54
ГЛ II МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИИ
с осторожностью н в зависимости от определения самого понятия
интегируемюсти. Действительно, если гамильтониан принадлежит по крайней
мере классу С2 в некоторой области D фазового пространства, то
существует, и притом единственное, решение, соответствующее любой
начальной точке из области D. В этом смысле система является, разумеется,
интегрируемой. С другой стороны, слово "интегрируемость" в гамильтоновых
системах часто связывается с идеей разделимости движения, т. е. с так
называемыми системами Штеккеля (или, в частности, с системами Лиувилля).
Связь между двумя этими понятиями можно проследить, если вспомнить, что
при существовании и единственности решения для моментов времени из
интервала 0 движение в фазо-
вом пространстве есть отображение, сохраняющее площадь (или, по-другому,
дивергенция потока гамильтоновой системы равна нулю). Верно также то, что
такой поток является каноническим, т. е. любая точка решения P(t) (при 0
< t < Т) получается из начальной точки Р(0) каноническим преобразованием,
которое при достаточно малых t принадлежит классу С2 и, кроме того,
обратимо. Отсюда следует, что в терминах начальных условий, взятых в
качестве частного набора канонических переменных, система с
необходимостью будет разделимой с гамильтонианом, сводящимся к константе.
Разумеется, такого рода разделимости можно достичь только после того, как
решение известным образом явно записано в виде функции времени и
начальных условий, так что никакой пользы от такого результата нет.
Однако он служит для указания связи между двумя вышеупомянутыми понятиями
интегрируемости.
Что касается периодических линейных систем, то нам известно, что при
