Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
системах см. работы Н. Н. Нехорошева [38*-41*] (прим. перев.).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
307
существует преобразование
У = У{§) + F (Ъ)х,
где F - 2л-периодическая матрица размерности (п-1)Х"-Это преобразование
обладает следующими свойствами.
а) Уравнение у = Y (у) переходит в уравнения
0 = со + /(ж, 0), x=g(x,e),
где / (0, 0) = g (0, 0) = 0.
б) Соотношения 0*= coi + const, х = 0, определяют периодическое
решение у = у (<*>?)•
в) Матрица dg (0, в)/дх - Q, имеющая размерность (п -
- 1) X (п- не зависит от 0, так что вариационная система
приводится к виду 0=", бж = Оба;. Собственные числа матрицы Q являются
характеристическими показателями Флоке - Ляпунова.
Теперь вопрос заключается в обобщении этих результатов на случай, когда
уравнения у = Y (у) имеют условно-периодическое решение у =*/(со1?, ...,
сomt), где вектор у имеет размерность п, а т^п или т> п. Точнее, мы хотим
знать, существует ли такая система нормальных координат 0 = (0i, ..0m), х
= (a?i,...
..., хр), что уравнения у = Y (у) приводятся к виду 0=F(0, х),
x=G(6,x),
где F, G - 2л-периодические функции по каждой переменной 0*, a F (0, 0) =
со >= (coi,..., j"m) = const и G (0, 0) = 0. Условно-периодическое
решение у (соt) переходит в решение 0* =
*= соht + const, х - 0, а система уравнений в вариациях приобретает вид
0=F(0,a;), б*=Ц(е,0)б*,
где dG (0, 0)1дх = Q -постоянная матрица размерности рХр. Собственные
числа матрицы Q в этом случае были бы обобщен-ными показателями Флоке -
Ляпунова для условно-периодического решения у (соt). С другой стороны,
если сразу же дана система с этими свойствами, т. е. с самого начала
известны нормальные координаты, то эквивалентной задачей является задача
определения инвариантного многообразия х = 0. Таким многообразием,
очевидно, являются торы размерности яг, погруженные в (р + яг)-мерное
пространство, с угловыми координатами
308
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
0i,..0m на них. Собственные числа Qi,..., QP матрицы Q и компоненты оз
1,..., (йт вектора со являются характеристическими числами Мозера [19], а
все со* по предположению являются рационально независимыми.
В таком обобщенном случае основное, что надо доказать, это - приводимость
вариационной системы для условно-периодического решения. При в=1ит^2
(условно-периодические решения одномерной системы) такая приводимость при
некоторых условиям была показана, однако об остальных случаях (п > 1)
ничего не известно. (См. работы Гельмана [8] и Андриановой
[1], цитированные Арнольдом.)
Другой важной проблемой, упомянутой несколько выше, является изучение
совокупности движений в окрестности положения равновесия. Для
неканонических систем приводимость к нормальной форме была показана
Зигелем "[26], однако, как уже говорилось, для канонических систем
необходимые предположения не могут быть выполнены. Общий случай изучения
совокупности движений в окрестности периодического решения также является
открытым вопросом для канонических систем. Он обсуждался в работе Зигеля
[27], но остался нерешенным. Наиболее общей формой этой проблемы является
грандиозная задача изучения совокупности движений в окрестности условно-
периодического решения. Важные результаты в этой области были получены в
работе Белаги [3]. Эта проблема, представленная Мозером [19] как задача о
сохранении условно-периодических решений, уже обсуждалась выше. Его
результаты похожи на результаты, полученные Белагой, главную теорему
которого мы приводим ниже.
Теорема. Рассмотрим систему уравнений
Х= Ах + f(x, у), у = to + g(x,y),
где х- вектор размерности п,у - вектор размерности т., матрица А- diag
(Л,1, ..., %п), a f = 0 (ж2), g = О (х) - 2п-периодиче-ские функции
относительно у=(уи ¦ ¦ ут). Рассмотрим бесконечное количество условий
I (kiK + ... + knkn) - + У- 1 (ZjWj-l- ... + lma>m) | ^
К [ I ^11 + • • • + I kn I + | Zj I + ... + Um I 1 (m+n+1)
для некоторого K> 0, ее [0, 1], 7 = 1, ..., п; все числа к\, ... ..., кп,
1\, ..., lm -целые, а | ki | + ...+1 кп\ > 1 + е. Тогда существует
аналитическое преобразование
= * + ф (х,у), Y = y + q(x,y),
приводящее данную систему к виду
Х = АХ, У=ю.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
309
Функции ф, ^ - 2п-периодические по у и ¦ ¦ -,Ут, а ф = О (ж2), •ф = О
(х).
Однако такая теорема неприменима к каноническим системам в том смысле,
что системы, удовлетворяющие описанным выше условиям относительно ю, А,
образуют множество нулевой меры в пространстве (ю, А). Результаты Мозера
только показывают существование сходящегося метода построения условно-
периодических движений. Вся совокупность таких движений неизвестна.
Ясно, что все эти вопросы могут быть обобщены на случай динамических
систем с более чем одной независимой переменной или на случай
функциональных дифференциальных уравнений.
Об этих уравнениях см. работу Хейла [И].
Другой проблемой, представляющей большой интерес, является вопрос о
лучшем понимании решения "вдали, вблизи и при выполнении резонансных
условий". Когда мы в действительности будем иметь процесс захвата в
