Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
известны под названием методов Эйткена. Например, если при сведении
интегрирования к задаче о неподвижной точке имеются три после-
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
305
довательных приближения к точке, т. е. хп-\, хп, хп+\, то отличная оценка
неподвижной точки (или корня соответствующего уравнения) дается формулой
_ К+1 - *п)2
Хп+2 *"+1 хп+1-2хп^хп_1-
Это соотношение точно оценивает сумму геометрической прогрессии в том
смысле, что если взять хп-\ - 1, хп>- 1 + 6, хп+\ =i = 1 + 6 + е2, то
получим хп+2^= 1/(1 - б). Этот и другие ин-тереспые методы описываются в
работе Фиджина [7]. Как можно использовать такие ускоренные методы в
аналитической теории,- это открытый вопрос.
Существуют другие методы, кроме тех, которые используют процедуру
усреднения, однако они не стали такими же популярными, как эти последние
при действительном применении методов к решению задач с помощью степенных
рядов по (малому) параметру. Методы усреднения просты, наглядны, понятны
и, что самое главное, систематизированы. Это означает, что они легко
переносятся на автоматические способы решения (с помощью итераций) на
электронной вычислительной машине с алгебраическим символьным
манипулятором. Такие машинные манипуляторы, специально приспособленные
для метода усреднения, были созданы в работах Депри и Рома [23, 24,
30.2,31.2] и Джеффриса [14]. Кроме того, в Смитсоновской астрофизической
обсерватории в Кембридже (Массачусетс) Ж. Черняк [16*] создал специальный
язык, основанный на системе FORMAC и приспособленный для решения
аналогичных задач1).
В работе [2] Арнольд анализировал некоторые нерешенные проблемы, и,
насколько нам известно, они остаются нерешенными и сегодня. Хотя большие
успехи были сделаны при качественном изучении динамических систем, по-
прежнему очень мало известно о двумерных системах и еще меньше для
многомерных случаев. Первый вопрос, поднятый Арнольдом, связан с
устойчивостью положения равновесия эллиптического типа в системах с
числом степеней свободы, большим двух. Аналогичную трудность представляет
собой вопрос об обобщении теоремы Пуанкаре-Биркгофа о неподвижной точке
на случай высоких размерностей системы. Кроме того, Арнольд имел дело с
устойчивостью по мере для динамических систем, которая связана с тем
свойством, что большинство изменений начальных условий сохраняет
') См. монографию [17*] и другие работы авторов из Института
Теоретической Астрономии АН СССР, а также работу [18*], посвященную
использованию ЭВМ для исследования поведения гамильтоновых систем вблизи
положений равновесия [прим.. перев.).
20 г. Е. О. Джакалья
306
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
условно периодический тип решения1). С другой стороны, так как промежутки
между инвариантными торами для случая размерности, большей двух, являются
связанными между собой и неограниченными, то траектория, проходящая между
двумя инвариантными торами, не обязательно будет оставаться близкой к
одному из них или являться ограниченной,- этот случай Арнольд, назвал
топологической неустойчивостью2). Вопрос заключается в том, является ли
такая ситуация типичной для динамических (гамильтоновых) систем с более
чем двумя степенями свободы3). Арнольд также упоминает тот факт, что нет
хотя бы приближенного доказательства существования зон неустойчивости
(хоатическое движение) Пуанкаре в окрестности точки гиперболического
типа. Мы хотим напомнить, что уже после этого Денби [6] для конкретной
динамической системы показал, что в действительности такие зоны
существуют. Хотя в его работе используются численные методы исследования,
тем не менее, без сомнения, ясно, что такие зоны могут и не существовать.
Другой задачей является задача о больших возмущениях. Если рассматривать
для сильно возмущенных систем исходный вопрос о существовании
инвариантных торов, то можно видеть, что никакого прогресса в его решении
нет, хотя Контопулос [5], исходя из полуаналитической точки зрения,
получил очень интересные результаты, связанные главным образом с выводом
о разрушении в конечном счете третьего интеграла движения.
Следующим и по трудности, и по важности вопросом является вопрос об
обобщении теории Флоке - Ляпунова на случай условно-периодических систем.
Если у - вектор размерности га,
и дифференциальные уравнения для него у = Y (у) имеют периодическое
решение у = у (со?) с периодом Т = 2л/со, a Y (у) Ф 0 при всех t, то
соответствующая система уравнений в вариациях имеет вид
Ьу = Щ (У (с#*)) &У-
В теории Флоке - Ляпунова устанавливается сущестование системы нормальных
координат, в которых эта линейная система с периодическими коэффициентами
сводится к линейной системе с постоянными коэффициентами. Другими
словайи, вводится такая угловая переменная 0 и такой (п-1)-мерный вектор
х, что
') Такая устойчивость называется устойчивостью для большинства начальных
условий (данных) или устойчивостью по Арнольду (прим. перев.).
2) Этот эффект называют еще "диффузией Арнольда" (прим. перев.),
3) Об оценке скорости "диффузии Арнольда" в многомерных гамильтоновых
