Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
определенной ветвью v+(a), имеем я/2 < ф sg Зя/2, а для точки,
определенной ветвью v-(a), имеем -я/2 г? ф < я/2.
б) При значении а, удовлетворяющем соотношению аа => 2е, ветви v+ (а)
и V- (а) сливаются с кривой, определяемой формулой v = v(co). При
отсутствии трения ветвь v+(a) (или v_(a)) лежит всегда над (или под) этой
кривой.
в) Центры переходят в фокусы, которые устойчивы при d(aa)jda> 0 и
неустойчивы при d(aa)/da < 0. Седловые и смешанные точки остаются.
г) Каждая фазовая траектория стремится к устойчивому фокусу или к
устойчивому предельному циклу, окружающему его. Переход осуществляется
через фазовую траекторию, имеющую седло в качестве предельной особой
точки. В этом случае одна ветвь приближается к фокусу, а другая - к
предельному циклу.
В заключение мы хотим упомянуть важные результаты, полученные Мозером
[62] прц построении условно-периодических; движений, в частности, при
построении движений в окрестности резонансных систем.
Этот вопрос связан с возможностью применения к резонансным случаям
теоремы Мозера об условно-периодических движениях, описанной в § 6 главы
III. Обобщение этой теоремы для гамильтоновых систем получено Мозером
[62]. Если рассматривается система с Лг степенями свободы, а гг - число
рационально независимых частот невозмущенной системы, то в случае п - N
применима теорема Колмогорова или теорема Мозера. Если п - 0, то мы имеем
положение равновесия, а случай п = 1 соответствует периодическому
движению; первым этот случай рассматривал Арнольд [4]. Все остальные
случая 1 < п •< N являются резонансными, и кратность резонанса равна N -
п. С точки зрения вопросов, описанных в § 3 главы III, резонансы
рассматривались в статье Арнольда [5] при обобщении теоремы Колмогорова.
Действительно, основные результаты работы Мозера содержатся в теореме
Арнольда,- факт, становящийся очевидным при сравнении, например, функции
Н\, (§ 3, глава III) с функцией Й из работы Мозера. В случае простого
резонанса (т. е. n-'N-l) результаты Мозера можно сформулировать очень
просто.
10. ЗАМЕЧАНИЯ
295
Действительно, рассмотрим гамильтониан
Н - Н(уи ..yN, xi, ..xN, е),
где#(у, х, 0)=H0(yN, х), а функция Н 2я-пернодична по каждой угловой
переменной у\, ..., уп (n = N- 1). Более того, для фиксированных значений
х\,..., xN-\, ограниченных в некоторой ограниченной области, мы будем
считать точку уу => xN = 0 равновесным решением системы с гамильтонианом
Но, т. е.
При е = 0 на многообразии
Xh = Ch = const, уК = xN - 0 (к = 1, ..п) (5.10.7)
мы имеем "-параметрическое семейство условно-периодических движений. При
условии, что положение равновесия является положением равновесия
эллиптического типа, эти движения могут быть продолжены при достаточно
малых возмущениях, т. е. прн малых е '). Точнее, Мозер (см. [62], теорема
6) доказал такое утверждение.
Теорема. Пусть система с гамильтонианом Н(у,х,е) при е = 0 имеет
равновесную точку и выполнены условия:
1) при 8 = 0, xN = yN =0, xh = Ck(i, /, k = 1, ..., n)
дН0 _ dH0
д2Н д*Н
dxMxj dx.dx^ detj Q-ift дчН [=7^=0,
dyNdxi dy%
2) если при 8 = 0, xN = yN~ 0, xk = Ch,
d°-H d2H
dx% dxNdyN
A det а2тт Д2 it (r) 0,
dxNdVN dy%
то при 8 = 0, xN = yN = 0, xh - Ch (i, j, k - 1, ..., n)
Г д*Н дН \
Iдх.дх. дх. I
! i ] i I
¦) Вопросы построения и исследования устойчивости таких движений
рассматривались в работе [20*] (прим. ред.).
296
ГЛ. V. РЕЗОНАНСЫ
Тогда при достаточно малых е существуют условно-периодические решения с п
частотами, которые близки решениям, определяемым формулами (5.10.7).
Разложение функции в ряд Тейлора осуществляется в окрестности решения
(5.10.7), и положение равновесия хх = г/"^= 0 предполагается положением
равновесия эллиптического типа, т. е. матрица
д2Н о 0*ЯО
дх% дхду N aN
д*Н о дЧ1п
дУ%
приводима к диагональной форме
д=(" ")'
где а ф 0. Таким образом, окончательная форма гамильтониана такова:
П
н = 2 ajXj + у {Х% + Y%) + О (8),
3=1
где
\Х3 - х,\ ~ 0(е2) (/¦= 1,. . ., п),
\XN - xN\ ~ |7* - ~0(ё4).
Дифференциальные уравнения возьмем в виде
y=a + 0( е), i==Ql + 0(e), (5.10.8)
где у = (уъ ...,уп), 1= (*и • • •, *"> я", у*).
Собственные числа матрицы Q таковы:
--1 = . . . ==: - П == 0, Qjf = ---1 = \ -1.
Для применения теоремы Мозера (§ б главы III) необходимо построить
модифицированную систему
У= а + % + 0(ё), i = Ql + Mt + 0(s).
Однако, как показал Мозер, можно выбрать М - aQ, где вещественная
величина о ф 0, так что "растяжением" времени
dx =i (1 + a)dt
10 ЗАМЕЧАНИЯ
297
находим
и константы
У' = (1 -г (а + %) + О {&). V=Q 1 + 0(в),
а, = (1+ а)-1 (в; + Х3)
можно получить соответствующими величинам Ск (к = 1, ..п), которые
удовлетворяют предположениям теоремы.
Тогда в системе (5.10.8) будут существовать условно-периодические
движения.
Что касается периодических решений в окрестности положения равновесия,
когда частоты нормальных колебаний являются рационально зависимыми, то
этот вопрос первым изучал Зигель [73]. Он привел пример, показывающий,
