Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Джакалья Г.Е.О. -> "Методы теории возмущений для нелинейных систем" -> 95

Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.

Джакалья Г.Е.О. Методы теории возмущений для нелинейных систем — М.: Наука, 1979. — 321 c.
Скачать (прямая ссылка): metoditeoriivozmusheniya1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 109 >> Следующая

х =i a cos (vt + ф), х - - av sin (vt + <p).
Если амплитуда а и фаза <р медленно меняются со временем за период Т ='
2n/v, то можно усреднить соответствующее уравнение за период и
получить решение с известной величиной ошибки (см., например, [52],
стр. 17-18, уравнения (2.19) и (2.20)).
10. ЗАМЕЧАНИЯ
291
Такие усредненные уравнения, получающиеся в результате упомянутой
процедуры, имеют вид
а р
а =---2" а - sm ф,
Ф= 4>2-v2)-2^COS(P'
2v
j_
4
(5.10.3)
Е - -j-a2 (и2 + v2),
и они показывают, что предположение о медленном изменении амплитуды
верно, если
Р
а а ,
Cva.
Медленно меняющаяся фаза будет встречаться в таких областях плоскости
(а,ф), где
I & \1/2
V - I <й2 -)-^-СОБф! <v.
При отсутствии диссипации (а => 0) система является канонической, и
соответствующий гамильтониан имеет вид
Н (р, 0) = j [<а2 (х) - v2] dx - 2е р cos 0,
где р - а2, е =' §/2v.
Отсюда видно, что амплитуда а является ограниченной, если предел
lim j | <й2 (х2) - v21 xdx
(5.10.4)
конечен и не равен нулю. В действительности это условие подразумевает,
что система не ведет себя линейно при больших амплитудах. За исключением
тех интегральных кривых, для которых особая точка является предельной
точкой, траектории в фазовой плоскости (а, 0) замкнуты и не пересекаются
друг с другом, если при этом отождествить точки 0 =<0 и 0 = 2л.
При отсутствии диссипации особыми точками системы
* * 1 8
а = - евщф, ф=-2^-(ш2 - V2)------- совф, (5.10.5)
которая относится к типу систем, обсуждавшихся в главе III, являются
точки
19*
а = 0, ф - я/2, ф = Зя/2
292
ГЛ. V. РЕЗОНАНСЫ
и а =' ф = 0, т. е.
Ф = 0, л, - v2) = ± е. (5.10.6)
Уравнение (5.10.6) описывает резонансную кривую системы в плоскости (a,
v). Это означает, что координата особой точки а при данном значении v
является корнем уравнения
где фаза ф = л при v = v+ и фаза ф = 0 при v = v-. Видно, что v+(a)
является кривой центров, если v+(а) << 0, кривой седел,
V- (а) ситуация обратна. Приведем некоторые важные факты, справедливые
для любой нелинейной системы.
а) Для любого значения частоты v существует по крайней мере одпн
центр.
б) Число центров на единицу больше числа седел.
в) При малых вариациях каждая смешанная точка исчезает или распадается
на пару точек: центр и седло.
г) Сепаратриса проходит через каждое седло и исключительные особые
точки а = 0, ф = я/2, ф = Зя/2.
д) Наконец, общей чертой движения без диссипации является то, что
период, определяемый формулой
может быть оценен в результате следующей приближенной про-цедуры, если
только интегральные кривые достаточно близки к центру. Линеаризация
уравнений (5.10.5) в окрестности центра Ск дает
Такие линеаризованные уравнения очевидно могут быть записаны в виде
где х = а - а(Ск). Таким образом, в пределе С = Ck и частоты в амплитуде
колебаний х определяются формулой
v±(a) =' (и2 ± Р/а)1/2,
если лц_ (а) > 0, и кривой смешанного типа, если v_|_ (а) = 0. Для
где
а - - 8ф, ф = - ak[ah - а],
Ф(СЙ)==0, ak = a (Ck), ah =<a&<a/v +е/а2,
a>h =co(a(Cft)), (й'к = (л'(a(Ck)).
x + еакх •= 0,
10. ЗАМЕЧАНИЯ
293
а период -
Tk = 2п/У1а^.
В этой системе степень 1/2 возникает естественным образом, и обычная
ссылка на изучение "пограничного слоя" едва ли необходима. Действительно,
как мы видели в § 5 настоящей главы, при различных предположениях
возникают различные степени е (уравнение (5.5.9)). В областях, далеких от
центра, интеграл для Т (С) надо вычислять точно, и в большинстве случаев
это можно сделать только численно. Однако, если а > е, то пренебрегая
членами (е/а)2 и более высокого порядка, находим
х = - е sin ф, ф =' ahx, и при - 1 < Ск < 1 интеграл для Т (С) дает
формулу
т^-укк1у^Щ'
а при Ск > 1
Т (С) = 2 [saft (1 + Ck)/2]-^ К ( j/",
где К (к) -полный эллиптический интеграл первого рода с модулем к.
Мы можем проверить результат для центра, положив Ск = "= -1. Если Ск -1,
то Т-*-оо, и в действительности случай Ch 1 соответствует сепаратрисе.
Вариация амплитуды Да (амплитуда колебаний в окрестности центра)
определяется формулой
Да (С) = max а (С, ф) -шта(С, ф), п, следовательно, получаем
Да = 2[2Д(1 + Ch)ak]U2
и ___
=УГ^\УС^-УСГ=Л] (Ch> 1).
Эти результаты по существу описаны в наших статьях [32-36], но здесь мы
следовали прямому описанию работы Бакаи [6].
В результате получаем, что Да увеличивается вместе с Ск, стремясь к
максимальному значению при Ск 1 слева, а затем круто уменьшается; при
этом характер движения изменяется с
294
ГЛ. V. РЕЗОНАНСЫ
колебательного (конечные вариации фазы) на вращательный (неограниченные
вариации фазы).
Если вводится диссипация, то картину фазовых траекторий также нетрудно
найти, несмотря на "потерю" интеграла энергии (гамильтониан).
Действительно, хотя траектории больше не являются замкнутыми, они
приближаются или к замкнутым траекториям, или к неподвижной точке. В
противоположность предыдущему случаю мы имеем следующие свойства.
а) Фаза ф особой точки не является постоянной. Для особой точки,
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 109 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed