Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Джакалья Г.Е.О. -> "Методы теории возмущений для нелинейных систем" -> 93

Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.

Джакалья Г.Е.О. Методы теории возмущений для нелинейных систем — М.: Наука, 1979. — 321 c.
Скачать (прямая ссылка): metoditeoriivozmusheniya1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 87 88 89 90 91 92 < 93 > 94 95 96 97 98 99 .. 109 >> Следующая

определяются формулами
( *\2 __ 2 1л , (r)2с2
.2 / 2 , . (5-9'19)
I (offa-foDJ
(со If - col {l + Ы2 2 Л - J-^Щ.
a)j(o| ((Oj -
Связь между переменпыми (х, у) и (|, rj) легко устанавливается с помощью
формул (5.9.6). Формула, соответствующая формуле (5.9.7), при обратном
преобразовании имеет вид
/ (I, XI) = / (ж, у) - (/, SJ - (/, S2) + -§ ((/, 5Х), St) + ...
(5.9.20)
где невыписанные члены имеют порядок О {г3). Применение формулы (5.9.20)
к функции
/ = Ш + -V Т)1 = С1 = const
coj
дает с той же точностью третий интеграл, полученный в работе Контопулоса
[22]:
х\ + -Кг г/1 + ... = с? = const.
Использование в тех же целях функции
/ = Ш + -2 'Пг 0)|
о
не дает нового интеграла, не зависящего от С\ и интеграла энергии (Ф или
F).
286
ГЛ V. РЕЗОНАНСЫ
Резонансный случай. Из (5.9.15) и (5.9.19) ясно, что в рассматриваемых
нами приближениях надо исключить случаи
2/2 2 2 (01 - 4(02, ~
В действительности по мере получения приближений высших порядков будут
появляться делители вида па i - таг, где целые числа п, т увеличиваются
вместе с порядком строящейся теории. Как указывалось в предыдущих
параграфах, даже не надо, чтобы эти делители обращались в нуль, а для
неприменимости теории достаточно, чтобы они были достаточно малыми.
Например, первое из соотношений (5.9.15) показывает, что если cof - 4ш2 -
0(e), то функция Si больше не будет величиной первого порядка малости,
как это предполагается с самого начала. В таких случаях аргумент
(критический), соответствующий малому делителю, надо оставить в функции
Ф, если оиа выражается через решение дополнительной системы (5.9.9).
Если cof л; 4со1> то такой подход приводит к выражениям
$1 = - 2 Кь - Tll) +
4(0^2 8
4со|ш| (wi -j- 2(о2)
Si - 2 2/., ПИ-Г (3(r)! + 4о)2) +
+ К + 4g>2) rjjTj! + 2co?ffl^i!2Th], (5.9.21)
_ о
Ф,
4o)?o)2 |^+^ДЙ+Ъ_ j + + (c)2 (5о)! -f 8o)2) (t2, -4-
2 32(0 jw| ((0! + 2co2)
Этих соотношений достаточно для последующего построения третьего
интеграла и подтверждения результатов, полученных в работе Контопулоса
[21].
Теперь, как и предлагается в методе Линдстедта, можно ввести такое
каноническое преобразование, после применения которого одна из координат
не будет входить в гамильтониан, а именно, та координата, которая
соответствует некритическому аргументу. Следовательно, при использовании
дополнительной системы новые координаты надо определить по формулам
?! = 2(ш2т + С2) - (coit + c'i), (5922)
Яг = - ((r)ат + <4).
9. ДВА ГАРМОНИЧЕСКИХ ОСЦИЛЛЯТОРА
287
Второе из этих соотношений выбрано таким образом, что q2 не будет входить
в гамильтониан, а соответствующий импульс будет совпадать с найденным
Контопулосом третьим интегралом для резонансного случая. Вообще говоря,
за q2 можно принять любую линейную комбинацию величин со1т ~ сi и со.,т +
с2 (не кратную только критическому аргументу gi). Импульсы,
соответствующие координатам 51, q2, определенным по формулам (5.9.22),
записываются так:
Р\ - ~2~ си Рг = (c)iC? + f -cl (5.9.23)
а сами переменные q 1, q2, рi, р2 легко выражаются через 1, rj с помощью
формул (5.9.9).
Легко видеть, что гамильтониан, записанный в переменных д, р, не содержит
q2, так что р2 - константа, т. е.
Ю1 + ¦у" ^2 + -^|j = Рг = const. (5.9.24)
Преобразование этого выражения с помощью формулы (5.9.20) дает третий
интеграл Контопулоса в этом резонансном случае:
(*з+ф +
28
(0i(02 (coi + 2со2)
[0)2 + ю2) ххх\ 4- хгу\ -угх2у^ +... =/>2=const.
Хори в упомянутой выше работе получил полностью эквивалентный результат,
положив(c)! = 4ш2 (точное равенство)1).
Другой резонансный случай, рассмотренный Контопулосом [22], а также
описанный здесь,- это случай cof со|2). В этом случае критический
аргумент, приводящий к появлению малого (или нулевого) делителя в общей
теории, имеет вид (cOjT -f cj -
-(со2т -f- С2). Сохраняя этот аргумент (и кратные ему аргументы) в
функции Фг (функция Ф1 остается такой же, как и в
J) См. также [34*, 35*], где рассмотрены и другие резонансные случаи
(прим. перее.).
2) Здесь и в [22] рассмотрен только один из двух возможных случаев, так
называемый случай простых элементарных делителей определяющей матрицы
невозмущенной (линейной) системы. Некоторые замечания о наличии третьего
интеграла в этом и более сложном случае непростых элементарных делителей
можно найти в работе [36*] (прим. ред.).
288
ГЛ. V. РЕЗОНАНСЫ
не резонансном случае), получаем ^ ___ 82 (/ 2 3 2\ ft2 ,
2 ~ 2(оЦ(о2_4(02) ila2- ""ill ^2
2 , Tll\ ft* , Ч1\ , 1
"'I Si +~2 S2 + -5 +-2'(r)х(ш1+2(02)
"l / \ Ш2
X I ?2 2 Tl2]+ (0,(0, ^lTll^2Ti2
(On
/
Как и в предыдущем случае, после введения соответствующего набора новых
переменных
?i = ("2Т + ^2) - (согт + c'i), q2 = - (со2т + сг),
Pi='2'(Bici> Ра = "2" (r)icl + у (r)2с2
новый гамильтониан не будет содержать координаты 52, так что импульс р2
будет постоянным. Следовательно,
у "1 (ll + + Т (^2 + ^2 1]2^ = Р3 = const,
или, используя (5.9.20)',
т-(х* + ip?) + -т (*2 + ip!) -
8
К (сО[ - 2со1со2- 2СО2) ^^2 "Ь
Предыдущая << 1 .. 87 88 89 90 91 92 < 93 > 94 95 96 97 98 99 .. 109 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed