Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
из упомянутых областей. Одним из наиболее эффективных методов является
процедура разложения по многим переменным, справедливая асимптотически в
упомянутых областях. Такой метод для случая р = 2 был развит в работе
[50], а позже в работе [18]. Здесь мы не будем останавливаться на таких
процедурах.
Когда имеется р угловых комбинаций, система, которую надо решить, имеет
вид
р
Ч = 2 (Aj cos Zj + Bhj sin Zj)
3=1
или
Sft = 2 Wfcj sin (к = 1, ..p). (5.8.9)
j= 1
В случае малых колебаний в окрестности точки ?,• = 0 эта система является
линейной, и решение находится сразу же. В против-
8. НЕСКОЛЬКО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
279
ном случае система уравнений (5.8.9) далеко не тривиальна. Аналогично
можно сказать, что если все углы ук описывают колебания около некоторого
положения равновесия, то при малых колебаниях решение может быть
проаппроксимировано любым желаемым образом. Но если хотя бы один угол ук
описывает вращения, то решение получить не так просто. Эти же утверждения
можно сделать и относительно переменных ?.
В качестве примера рассмотрим случай р = 2, так что можно написать
(функция F предполагается четной относительно у\, г/г)
F = fljSj г а11^1 2а125152 -f- а2262 -f-
+ cos(<X2h + РУг) + A^q cos (pyt + qy2). (5.8.10)
В этом случае мы находим
z\ - -кц sin z\ - кi2 sin z2,
где
(5.8.11)
Z2 = -/С21 sin Z\ - Л'22 sin Z2,
4 = ayi + P&, z2 = руг + qy2,
= k12=k12A\q,
kn = k12Af, kM = ki0A?4
и
&u == 2(a 2оц + 2a[5ai2 + P2a22),
J112 = 2(арац + $qai2 + aqai2 + Рра2г). k2 2 = 2(р2ац + 2pqa\2 + 32a 22)-
Преобразование
sin -y- = fcj sn ("!, fcj), sin-y-= &2sn(M2, fe2)
приводит уравнения к виду
"5Г [(м^ - ^u) cn2 Wll ~ cn sn w'2 W2MH
"* ГГ2 \ 1 • (5'8Л2)
-г?- [ - k22j cn2 u2 J = a2 cn u2 sn ux dn uxu2,
где
ai = 2k12 -¦*- ¦¦, a2 = 2 kn-~~.
Kl 2
Система распадается, если ai = a2 = 0, т. e. для этого необходимо и
достаточно, чтобы
арап + (Рр + ag)ai2 + Pga22 = 0, (5.8.13)
280
ГЛ. V. РЕЗОНАНСЫ
и в этом случае решение уравнений (5.8.12) получается
немедленно. Одним из возможных случаев является случай
"11 = Й12 = Й22 = о, (5.8.14)
но тогда мы имеем дело не со случаем резонанса. Другим интегрируемым
случаем, разумеется, является случай, когда
кцк22- &12&21 = 0, (5.8.15)
и в этом случае величины Z\ п z2 таковы, что одна из них является целой
кратностью другой, и мы опять возвращаемся к одномерному случаю.
Другое частное решение можно получить, если к\ - к2, т. е. функции z 1 и
Z2 являются периодическими функциями времени t и имеют одинаковый период.
Действительно, легко проверить, что если k\i + к\2 = fo2 + к2\, то мы
имеем частное решение
П\ = и2, так что Z\ и z2 являются просто сдвинутыми по фазе друг
относительно друга периодическими функциями с одинаковым периодом.
Однако в общем случае zi ы Z2 (их вещественные части) будут условно-
периодическими функциями времени t, и в конечном счете можпо получить их
непериодические экспоненциальные ряды Фурье, если в исходной системе
(5.8.11) положить
sin -ф- = ^ 2 а? ехР ^ + ZoV)L
ь i
где, разумеется, coi и шг ¦ при к 12 = 0 имеем
неизвестные частоты. Ясно, что так как
sin
Ч
2
кг sn I
оо
, К) = 2 ъ\ (кО Sinf(2fc + 1) i_],
где их - У kut -j- и1о, а при к21 = 0 аналогично имеем
sin ~ = к2 sn {и2, к2) = ъ\ (к2) sin
1=0
(21 + 1)
2К (к2
где u2 = ]^k22t-\-u20 и в этих выражениях модули кi и А'г зависят от
начальных условий, то легко получить члены нулевого порядка в разложениях
coi и а>2, записав их через к\\, к22, к\, к2, а члены более высокого
порядка находятся по рекуррентным формулам. Такая процедура типична для
случаев, когда система "слабо завязана", т. е. | к\21, |&2i| "С 1 Агц [,
| к221. Совершенно ясно надо
8 НЕСКОЛЬКО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
281
осознавать, что сложность проблемы, описанная выше, связана только с
главной задачей, решение которой служит основой для получения решений
высших порядков или, в случае подхода, основанного на рядах Ли, для
определения решения дополнительной системы. В обоих случаях главная
задача настолько сложна, что есть только небольшая надежда на получение
каких-нибудь дальнейших приближений.
Если за точку, около которой производится разложение, принять центр, то
при р = 2 метод Цейпеля, примененный к описанной выше задаче, приводит к
уравнению
а\ ("S' 172)1/1 + а2 (Si/2)у, +%i [(*^ 1/2)yi 12 +
+ 2я12 {Si/2)yl (^1/2)у2 "Ь а22 [(?1/2)1/,]- "Ь
Ai ^ cos (Щ)\ + Pi/2) + A\q cos (рУ\ + qy2) = Кг (б4, б2),
(5.8.16)
где jSi/2 - приближение первого порядка (т. е. член порядка 0(е1/2)) в
производящей функции капонического преобразования (б15 62, уъ г/2) -(б 1,
62, у 1, г/2)- Разумеется, при этом мы ничего не приобретаем, потому что
малопонятно, как решать уравнение в частных производных (5.8.16). Кроме
того, утерян принцип получения функции А'1(б|, 62), т. е. членов порядка
О (г) в новой функции Гамильтона. Решение будет тривиальным для общего
(нерезонансного) случая йц = а 12 = "22 = 0 или, точнее говоря, когда
S = тождественная часть + AS,
