Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Джакалья Г.Е.О. -> "Методы теории возмущений для нелинейных систем" -> 85

Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.

Джакалья Г.Е.О. Методы теории возмущений для нелинейных систем — М.: Наука, 1979. — 321 c.
Скачать (прямая ссылка): metoditeoriivozmusheniya1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 109 >> Следующая

при Р - ро.
Для простоты перепишем уравнение (5.5.12) в виде
где F(P, q) > 0, F{P, q\{P)) = 0, aA = 0{z'h) и В ограничено снизу при
малом е. При этих условиях получаем, что, так как
КХ{Р) = min Н1 (Р, q) = #Х(Р. ^(Р)), (5.5.11)
где функция q:{P) такова, что
F^P, q)=Hx{P, q) К\ (Р),
dS
~дР~'
(5.5.13)
5. НЕЛИНЕЙНЫЙ РЕЗОНАНС
259
функция F(P, q) является периодической по д, то она является также четной
функцией этой переменной, т. е. F(P, q) = = F(P, -q) и, следовательно, ее
можно записать в виде
ОО
F = 2 ccj (Р) sin25' д.
j=i
Пусть всегда выполнено равенство
= max F (р" ?)• (5.5.14)
^ а <д)
Тогда функция о, зависящая от Р, больше нуля. Функция
2Ва2
А2
такова, что
Ч(Р, я)=2-^Р(Р> я)
max ? (Р, q) = 1 (q - ± л/2),
<<2>
minY (.Р, д) = 0 (д = 0),
<9>
?(*, д) =У(Р, -q) и она, следовательно, может быть записана в виде
ОО
^ (Р, д) = 2 pj (-Р) sin25 q, j=i
где
Q 2Bo2 , m
Будем предполагать, что
р,"1, IM<1 (/>2).
Исключая тогда случай А = 0, получим
^ = щр){-1 ± т(р. я)1(5.5.15)
где R = А/В. Мы также предположим, что А > С. Случай А < 0 соответствует
аналогичной формуле с заменой А за | А | и соответствующей заменой
знаков.
Очевидно, возможны следующие случаи: а < 1 - колебания, а > 1 - вращения,
а = 1 - сепаратриса или сео.гоеые точки.
17*
260
ГЛ V. РЕЗОНАНСЫ
Так как в последнем случае требуется выполнение точного равенства, то он
имеет значение только в предельном приближении к S, и то, если ряд для S
сходится.
Если а < 1, то функция Ч*' (Р, q) не может достичь своего предельного
значения (единицы), т. е. существуют "такие значения q~q\,q =qi, что
ЧЧР, ?!)=?(?, ?2) =а2,
и в рассмотренном выше случае q\ = - q2- Значения q\ и g2 являются
граничными точками колебаний. Если а > 1, то функция 4я (Р, q) принимает
все возможные значения, угол q неограничен и q имеет (в среднем)
постоянный знак.
Теперь введем модуль к = min(a, а-1) и эллиптический интеграл и,
определяемый формулой
(Р, q) = к2 sn2 и = a2sn2u (колебания)
или
Ч*' (Р, q) = sn2w (вращения),
где sntt = sn(tt, к) -эллиптическая функция Якоби sn с модулем к ж
амплитудой ср, которая определяется формулой
am и = cpL = arcsin (колебания)
или формулой
am и - фс = arcsin (УЧ?) (вращения).
В обоих случаях максимальное значение амплитуды равно я/2 и совпадает с q
= q\ или q = дг (колебания) или с q = я/2 (вращения). Переменная и
совершает полный оборот с периодом 4К, где К - полный эллиптический
интеграл первого рода
и(~1Г' ^)' М°дуль к зависит от Р.
Уравнение для W теперь можно переписать в виде
или
(jarl--R<-1+d"">
в случае колебаний и вращений соответственно. Знаки плюс или минус,
разумеется, несущественны, так как функция сп и изменяет знак через
каждую половину периода 2К, при вещественных значениях и функция dn и
всегда положительна.
5. НЕЛИНЕЙНЫЙ РЕЗОНАНС
261
Рассмотрим случай, когда Ч*- - четная функция и q2 - -Q\, т. е. имеются
симметричные колебания относительно колебательного центра. Отсюда
следует, что
где |Д,| <Во (/3* 1), В0 ж а2 в случае колебаний и В0 " 1 в случае
вращений. Мы также находим, что
где Со{Ь) = 0 и С0{С) = 1. Кроме того, \С-\ < при / З5 1. Выражение для
cos q зависит от типа движения. В общем случае мы имеем
cos2 q = 1-sin2 q = 1- (B0 sn2 и -j- B\ sn6 и +.. .).
В случае колебаний Во ~ о2 = к2, так что добавляя и вычитая величину
a2sn2u, находим
и все коэффициенты |50-ст21, |5i|, ... малы по сравнению с единицей. Так
как к = а < 1, то из выписанных выше рядов мы получим сходящееся
выражение
где |Д-| < 1. '
В случае вращений Во ~ 1, так что добавляя н вычитая из cos2 q величину
sn2 и, находим
cos2 q = сп2 и - [ (В0 - 1) sn2 и -f В\ sn6 и +...], где коэффициенты
|5q- 1|, |#i|, ... малы по сравнению с
со
?ь (Р, q) = о2 sn'2 и = 2 Pj (Р) sin-'g
ОС
(sin2 q)c = J] Aj sn2^2j'+1) и.
В обоих случаях мы можем написать
оо
sin2 q = _2 Bj sn2(2j+1) и.
ОС
sin q = 2 С j sn^*1" ,
cos2 q = dn2 и- [ (Bo - a2)sn2 и -f B\ sn6 и +...],
CO
(cos q)L = dn и 1 + 2 Dj sq2; u > j=i' J
262
ГЛ. V. РЕЗОНАНСЫ
единицей. Следовательно,
ОО со
(cos q)c = сп и 2 2 Ецtn2i и sn4; w+ 1 •
i=l j = l
где |?<j| < 1.
Наконец, рассматривая ряды Фурье для sn и, сп и, tn и, dn и, можно
записать функции cos q, sing и Чr(P, q) в виде рядов Фурье по и. Функция
q - q{u) легко получается с помощью выписанных выше соотношений и
тождества
которое в общем случае состоит из эллиптических интегралов,
представленных сходящимися рядами Фурье относительно sin (jnuj2K) плюс
линейный член по и. Аналогичный характер имеет связь между qL и и, т. е.
где Fо " а. Существенно, что переменная р находится из соотношения
d , . . dn
(sm q) - cos q
В случае колебаний находим
со
где F0tto. Отсюда следует выражение
WL =
-" 00 = -Rq + R j cn и du = - Rqr"^ Fj J sn2;'w cn2 и du,
и в случае колебаний
U U
так что р колеблется около среднего значения
6. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
263
и достигает максимального значения при = П дли ь = 4К, и минимального
значения при и = 2К.
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 109 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed