Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Джакалья Г.Е.О. -> "Методы теории возмущений для нелинейных систем" -> 86

Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.

Джакалья Г.Е.О. Методы теории возмущений для нелинейных систем — М.: Наука, 1979. — 321 c.
Скачать (прямая ссылка): metoditeoriivozmusheniya1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 109 >> Следующая

В случае вращений находим
оо со
(-4^-) = dn w 2 tn2i и sq4'' u >
¦d"!c Sn
где Goo "1 и |Gij| < 1 для всех других индексов. Следовательно, имеем
выражение
°° °° с
Wс = - Rq,+ й 2 2 Gi} ^ tn2i и sn4; и dn2 и du.
i=0 i-О с
которое также состоит из эллиптических интегралов, представ-ляемых рядами
Фурье по и. В этом случае находим
р - Р - Л (1 - dn и) = .Р--------|----dn и,
Я0 Н0
п среднее значение р определяется формулой
- D н'о . К 1 + v 1 - к2
Р=Р~1Г + !Г--------------2------'
ло о
где
к2 = -|г = (Р> = № (Л Я^Г1-
Максимальное значение р соответствует величине и - О, 2К, 4К (q-О), а
минимальное - и = К, 3К (q - q\ или q = q2).
6. Асимптотические разложения до любого порядка
Чтобы сделать законным формальный подход вычисления приближения первого
порядка, который описан в предыдущем параграфе, надо показать, как
получить решения для высших приближений. Для приближения любого порядка
мы потребуем, чтобы функция AS была стационарной в колебательном центре.
Уравнение для членов порядка е3/2 будет иметь вид
. тт" d?U2\dS1 1 H"'(dS\rzf , Н' dSl/2 к (р>
Тем не менее, мы отметим, что в колебательном центре коэффициент при
dS\/dq обращается в нуль и функция S\ становится в этой точке
неопределенной. Следовательно, в уравнение мы должны добавить член
наименьшего порядка (большего или равного.
264
ГЛ. V. РЕЗОНАНСЫ
3/2), который содержит (dSi/dq)2. Таким образом, мы перепишем
вышеприведенное уравнение в виде
где член U3/2 определяется из предыдущего уравнения. Так как член Нз/2
отсутствует, то ошибка в определении q\ (Р) (точка минимума функции
Us/^iP, q)) пмеет порядок малости 0{s1/2) по сравнению с величинами из
рассматриваемого уравнения и, следовательно, допустима. Таким образом, мы
определяем
из которого, так же как и в первом приближении, находим А5(1) или S\.
Вдали от колебательного центра квадратичный член (т. е. член 0(е2)) в
(5.6.1) не вносит ошибки, так как он имеет более высокий порядок. По мере
приближения к центру каждый член в (5.6.1) стремится к нулю как е1/2.
Следовательно, в пределе Fз/2 - 0, и координаты центра не изменились. Тем
не менее, амплитуда колебаний может измениться на величину, порядок
которой может быть больше е. Этого не случится в следующем приближении
при определении S3/2, так как в общем случае Н2 Ф 0. Уравнение для
следующего приближения будет иметь вид
и координаты колебательного центра теперь изменятся на величину #2 (Р),
являющуюся решением уравнений
Кз/2(Р) = U3/2{P, gi(Pj).
(5.6.2)
и
F(3/2) = F1 + Fm,
из уравнений (5.5.12) и (5.6.1) получаем уравнение
+ 4- я; (^^)2 + и(2) (Р, q) = К(2) (Р), (5.6.4)
а в силу исходного предположения об аналитичности имеем
Ч - q2= 0(е2).
6. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
265
Предыдущие приближения соответствующим образом исправляются, и уравнение
(5.6.4) дает улучшенное решение. Можно теперь легко показать, что процесс
может быть повторен до приближения любого порядка, так что в общем случае
^ + -Т Н"" (^гТ + Р(П+1П) (Р' = °'
Если процесс сходится, то мы, очевидно, получаем
дА S
-з- ~ " (- 1 + сп и)
дЯ я/
или
соответственно, если
о2 /с2
Vм О/ ?
ИЛИ
Только в таком предельном приближении, если оно существует, можно
определить асимптотическое движение. Сепаратриса определяется условием
277Fvmaxr°(P' q)=L
(.но) q
В этом случае соответствующее преобразование, очевидно, имеет вид
9.
Я,
о
(ноУ
что дает
F°°(P, g) = th2 и,
dAS Нп
Т '='5;<'l + sch")'

и точка g .= О соответствует точке и = оо. Отсюда следует, что
р ~ Р- ^4- (1- sch и),
но
и предельное значение р определяется формулой
Plim = Р Hq/Hq ,
266 ГЛ. V. РЕЗОНАНСЫ
которая в точности совпадает с формулой для среднего значения в
колебательном движении.
В общем случае, как уже говорилось, сходимости рядов можно добиться
только для конечных интервалов времени Т = 0(е~1) независимо от того,
сколько приближений учитывается (см. [52]).
7. Общая теория и идеальная резонансная проблема
Рассмотрим гамильтониан
Н = Н0(х) +Hi(x, у) + Н2(х, у) + ... = const,
где Hi, Я2, ...- периодические функции у с периодом 2я. Рассмотрим
топологию фазовой плоскости (у, х) с траекториями Н{х, у) = const.
Предположим, что в этой плоскости имеется центр и две седловые точки,
которые после соответствующего преобразования мы будем считать
расположенными следующим образом:
центр: х = х, у = я; ,
седла: х = х, у ~ 0 (2я). I • ¦ /
Если теперь рассмотреть точку х0 и тейлоровское разложение Я вблизи этой
точки, то мы найдем
Н = Н0 (х0) -f #о (хо) (х - хо) + jr но (хо) (х ~ хо)2 + • • •
... + Нг (х0, у) + Н[ (х0, у)(х - х0)+ ... = const. (5.7.2)
где штрихом обозначено дифференцирование по х. Здесь мы последуем
подходу, основные черты которого предложены в работах Хори [45] и который
затем детально развит в работах Жуппа [47], [48]. Мы здесь также будем
предполагать, что, как и обычно, функции Нр(х,у) при р > 1 можно
разложить в ряды Фурье (которые мы будем считать быстро сходящимися) и
что Я является четной функцией у, хотя последнее ограничение можно
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 109 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed