Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Джакалья Г.Е.О. -> "Методы теории возмущений для нелинейных систем" -> 92

Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.

Джакалья Г.Е.О. Методы теории возмущений для нелинейных систем — М.: Наука, 1979. — 321 c.
Скачать (прямая ссылка): metoditeoriivozmusheniya1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 86 87 88 89 90 91 < 92 > 93 94 95 96 97 98 .. 109 >> Следующая

где за AS можно взять функцию порядка О (г). Используя ранее введенные
величины Z\ и гг, уравнение (5.8.16) перепишем в виде
(a°i + Раа) (*5'i/2)z1 + (Ра 1 + ?а2) (^1/2^ +
+ ~2~ [(^i/2)zj2 + ki2 (Si/2)z1 (<51/2)г, Ч-^23 [(*^i/2)zj2 +
+ Аcos zx + Aiq cos z2 = Кг. (5.8.17)
Это уравнепие при к\% = 0 опять имеет простое решение в эллиптических
функциях Якоби, в то время как в общем случае оно не проще исходного.
Вероятно, будет полезно отметить, что иногда возможно выбрать такую
исходную точку, что
арац + (?/? + aq)ai2 + (5.8.18)
где величины ац, ai2, "22 не обязательно равны нулю. Действи-
282
ГЛ. V. РЕЗОНАНСЫ
тельно, целые чпсла a, fi, р, q заданы, но так как
xt=xt,
\x3-xt.
те может случиться, что специальным выбором величин хю, х2о удастся
"развязать" систему. Для того чтобы это было можно сделать, функция Н0
должна принадлежать к классу функций /, удовлетворяющих уравнению (р = 2)
где к, I, т - заданные целые числа. Рассмотрим следующие важные частные
случаи.
I) ос = р, так что aq + $р - ^5 + ар и, следовательно, в
(5.8.19) 21 - т + к; в этом случае уравнение (5.8.19) переходит в
уравнение
которое легко решить;
II) р = q; аналогично предыдущему случаю;
III) известно, что когда кт больше, равно или меньше I2, то уравнение
будет соответственно эллиптического, параболического или гиперболического
типа; в каждом случае свойства решений для / хорошо известны и могут быть
найдены в любой книге о дифференциальных уравнениях в частных
производных.
На самом деле проблема менее сложна, так как функция /, т. е, Нo(5i, 62),
задана, и вопрос о том, будет ли удовлетворяться уравнение (5.8.18),
сводится к решению уравнения (в общем случае не алгебраического)
относительно двух неизвестных. Все возможные решения этого уравнения
дадут области, в которых резонансные аффекты могут быть отделены друг от
друга.
9. Взаимодействие двух гармонических осцилляторов
Мы завершим эту главу кратким обсуждением задачи о нелинейной связи
осцилляторов. Это описание основано на результатах, полученных в работе
Хори [46], и служит заключительным примером использования методов теории
возмущений, основанных на рядах Ли для консервативных систем.
Рассматриваемая система описывается уравнениями
(5.8.19)
•п + (?>\хх = ъх\, х.г + (?>\хч = 2ехгх2,
(5.9.1)
9. ДВА ГАРМОНИЧЕСКИХ ОСЦИЛЛЯТОРА
283
где а>1, (02, е - положительные вещественные постоянные. Существование
третьего интеграла для этой системы уравнений исследовалось в нескольких
работах Контопулоса и др. [19-22].
В гамильтоновой форме уравнения (5.9.1) можно переписать так:
4 = yk = -FXh (к = 1,2), (5.9.2)
F = F0(x, у) + F1(x), (5.9.3)
Fо = 4" № + 2/2 + afci + (5.9.4)
F х == - ъххх\. (5.9.5)
Расматриваемая теория строится до членов второго порядка включительно.
Для канонического преобразования (х, у)-+- (%, t]), определяемого по
формулам
} ' Зт| . ' дц. + 2 1 911
= П s) (5-9'6)
где мы пренебрегли членами порядка 0(е3), генератор Ли - Хори S(l, Ч, е)
представим в виде степенного ряда по е
S = Si -(- S2 + ...
С точностью до членов того же порядка отображение функции /(!" Ч) с
помощью генератора S задается формулой
/ (X, у) = / (1, ч) + (/, S,) + (/, 52) + ± ((/, SJ, 50. (5.9.7)
Это соотношение, как указывалось в главе II, может быть использовано для
получения формулы
Ф(1, Ч) = F(x, у), (5.9.8)
где Ф - новый (преобразованный) гамильтониан. Заметим, что в этом примере
обозначения х и § приняты для координат, а обозначения у и г] - для
импульсов.
Так как
Фо = Fu = J (л? + ч! + e>iSi + (c)iSi),
то решение дополнительной системы имеет вид (/ = 1, 2)
Еу = с7-cos (со/г -f cj), г)7- = - Cj(Oj sin (ю/r -f cj). (5.9.9)
284
ГЛ V РЕЗОНАНСЫ
Нерезонансный случай. Пусть coj и шг- лннейно независимы на множестве
целых чисел. Тогда решение соответствующих уравнений имеет вид
Ф^Нт^-l Fx (1 (т), ti(T))dx=Fb,
Т oJ
= J (т)' Ч (т)) _ фЛ dx•
Фа = "<г (^1 + Фь S1)s,
5а= Ц-^^ + Ф!, ^-Ф^т,
Фз = ~2 (^*1 +Ф11 S2)s + "2 (^2 "Ь Фг> ?1)4 +
+ "[2 1 - '^1^' i^1^s
(5.9.10)
(5.9.11)
(5.9.12)
(5.9.13)
(5.9.14)
и дает генератор S' до членов второго порядка включительно, а новый
гамильтониан до членов третьего порядка.
В нашем случае находим
Ф1=0,
s2-~
•'f (cof - 4со|)
- [(cof - 2со^) Tjjgi - 2cofl&jiz - 2^1],
2rof((of- 4(01) j a); - (of
[(2cof + aj) Ц - 3t]i]
+
'(4(o| -(of) 2 (of + 2(o|
" ш2 ("l-"2)
Ф,
2(of ((of - 4w^)
"2 - n-tOi
8"1
3 2\ I 9-2 , ^2 '2
8(0^
(5.9.15)
+
ф3=0.
9. ДВА ГАРМОНИЧЕСКИХ ОСЦИЛЛЯТОРА
285
В соответствии с общими результатами, установленными в главе II,
следующие величины являются интегралами движения для дифференциальных
уравнений, соответствующих гамильтониану
Ф(1, П):
rj) - const, Фо(1, т])= const. (5.9.16)
Легко проверить, что из (5.9.16) следует (/ = 1, 2)
fi + ч) = с, = const. (5.9.17)
со?
Следовательно, решение уравнений, соответствующих гамильтониану Ф, имеет
вид
- Cj cos (coj t -J- с}), rjj = - Cjd)j sin (co*? + c'), (5.9.18) *
где "исправленные" частоты со,- с точностью до членов порядка 0(гА)
Предыдущая << 1 .. 86 87 88 89 90 91 < 92 > 93 94 95 96 97 98 .. 109 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed