Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Джакалья Г.Е.О. -> "Методы теории возмущений для нелинейных систем" -> 89

Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.

Джакалья Г.Е.О. Методы теории возмущений для нелинейных систем — М.: Наука, 1979. — 321 c.
Скачать (прямая ссылка): metoditeoriivozmusheniya1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 83 84 85 86 87 88 < 89 > 90 91 92 93 94 95 .. 109 >> Следующая

этой же точке. Этим условиям легко удовлетворить, если (5t/2)у
представляет собой ряд из синусов целых кратностей величины у, но в общем
случае этого не будет.
7. ИДЕАЛЬНАЯ РЕЗОНАНСНАЯ ПРОБЛЕМА
273
Рассмотрим теперь уравнение
у = Нх = О,
т. е. уравнение
со
Ло (х) + 2 Л • {х) cos jy = 0.
При у - я имеем уравнение
со
Ло (х) + 2 (- 1У A] ix) ~ 0,
и, так как входящие в него величины имеют разные порядки, то приближенно
(с точностью выше е1/2) решение будет определяться условием:
ром колебаний, а точка {хц2, У - я) дает первое приближение для его
координат.
При у = 0 имеем уравнение
для ее координат. _
При у = я, х = х первое приближение функции S =?г/ Si/2 соответствует
тождественному преобразованию, так как (Si/2)y=0, а (?1/2)1 = 0 по
построению.
В следующем приближении для получения (5'i)y=0 мы опять выберем Рз/2 =
Q3/2, и теперь функция Qз/2 определяется по коэффициентам известных
членов при cos у, т. е.
a) xttXi/2, где Ло(^1/2) = 0; точка (х, у=п) является цент-
оо
Л0 {х*) + 2 Л'- (х*) = 0, j=1
и опять:
б) х* = хц2, где Л0 (^i/2)^= 0; точка (х*, у ¦= 0) является седловой
точкой, а точка (^1/21 у = 0) дает первое приближение
В общем случае выбор этих функций будет таким:

274
ГЛ. V. РЕЗОНАНСЫ
и по индукции легко установить, что Rm (|, я) = 0 и
2Р(р+,/2) cos2! + i?(p+1/2) (I, у)]
I 1/2
а при г/ =. я получаем (?(р))" - 0.
Колебательный, вращательный или асимптотический характер движения на
каждом шаге будет определяться в соответствии с тем, будет ли выражение
¦?м2 + Д_[2Р(р+1/2) (?) + Д(р+1/2) (?, 0)]
Ао А о
больше, меньше или равно нулю соответственно, хотя наличие
асимптотического случая, если он и имеет место, можно установить только в
пределе при р-*-оо. Теперь определим формальный ряд для функции S (|, у),
которая соответствует преобразованию, приводящему гамильтониан к виду
К (I, Г)) = (Р" + Рг + Pi/2 + . . . ) + (<?1 + Qs/2 + • • •) cos Т) =
= Л0(Е)+:2Р(Е)С082^, (5.7.18)
где А0 (I) = О (1), Ао (I) = О (е1/2), Р(c) = О (е).
При т] = я функция К(\, ч) имеет минимум, если, разумеется, считать Л0(|)
> 0, Р(|) >0. Такой вид гамильтониана в точности определяет идеальную
резонансную проблему.
Здесь мы описали самую простую ситуацию, которая только может
встретиться. Очевидно возможна более сложная топология фазовой плоскости
(х, у), если имеется некоторое количество п центров и более чем 2п - 1
седловых точек. По-видимому, в более общем случае какое-то обсуждение
становится невозможным.
Следующим по простоте после рассмотренного случая является случай, когда
имеется более общая идеальная резонансная проблема и имеется два центра и
три седловых точки на отрезке 0"? г/"? 2я. Здесь главная часть
гамильтониана имеет вид
F = Ао(х) +^i(a:)cosz/ + B1(3:)cos2z/, (5.7.19)'
где при iefl имеем Ао(х)=0(г1^2), а А\(х) = 0(г), В\(х) = = О (е). Этот
случай детально рассмотрен в работе Джакальи [36].
8. НЕСКОЛЬКО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
275
8. Несколько степеней свободы
До сих пор мы рассматривали задачи с одной степенью свободы. В
действительности в общем случае система с т. рационально независимыми
друг от друга резонансными соотношениями между частотами может быть
сведена к системе с т степенями свободы. Если т > 1, то полное
рассмотрение этой задачи маловероятно. Общепризнано, что очень мало
известно о системах с двумя степенями свободы и, как упоминалось выше,
интерпретация критических точек является крайне громоздкой. Однако в
самом общем виде проблему можно сформулировать следующим образом.
Опять рассмотрим систему уравнений с гамильтонианом
а число членов в каждой функции Нк предполагается конечным. Как обычно,
предположим, что функция Н аналитична приже/), где D - некоторое n-мерное
дифференцируемое многообразие. Ряд (5.8.1) предполагается равномерно
сходящимся как степенной ряд по "малому параметру" е, который всегда
служит для уирощения выкладок, хотя в некоторых примерах можно показать
справедливость (сходимость) формальных рядов, строящихся при О < е < ео,
где ео достаточно мало. Мы будем считать систему с гамильтонианом (5.8.1)
неприводимой в том смысле, что все угловые переменные описывают медленное
движение. Все быстрые переменные системы предполагаются исключенными тем
или иным способом (см. главу II). Предположение о нелинейности резонанса
теперь соответствует рассмотрению особых точек системы уравнений
т. е. решений х = х°, у = у9 уравнений Д* = 0, Ну = 0. Решения такого
типа являются "центрами" "характеристический многочлен системы уравнений
в первых вариациях имеет только чисто мнимые корни) или "седлами"
(характеристический многочлен имеет по крайней мере одну пару корней с
ненулевой вещественной частью; один из корней этой пары имеет
отрицательную вещественную часть, а другой должен иметь положительную).
Как хорошо известно, "центры" не обязательно являются устойчивыми
точками. "Седла", разумеется, неустойчивы. Однако
Н (,х, у) = #0 (ж) + Н1 (х, у) + ...,
(5.8.1)
где при к 5s 1
Предыдущая << 1 .. 83 84 85 86 87 88 < 89 > 90 91 92 93 94 95 .. 109 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed