Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
53. Ла-Салль Ж., Лефшед С. Исследование устойчивости прямым методом
Ляпунова.- М.: Мир, 1964.
54 JI е ф ш е ц С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений.- М.:
ИЛ, 1900.
55. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. Собр. соч., т.
2 - М.: Изд-во АН СССР, 1956.
56. М а л к и н И. Г. Теория устойчивости движения.- М.: Физматгиз,
1966.
57. М а л к и н И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний,-
М.: Гостехнздат, 1956.
58. М и т р о п о л ь с к и й Ю. А. О построении общего решения
нелинейных дифференциальных уравнений с помощью метода, обеспечивающего
ускоренную сходимость,-Укр. матем. ж., 1964, т. 14, № 4, стр. 475-501.
59. М о s е г J. The resonance lines for the synchrotron. Geneva, p.
290-292, Proceed. CERN Symp., 1956.
60. M о s e r J. New aspects in the theory of stability of hamiltonian
systems.- Comm. Pure Appl. Math., 1958, vol. 11, № 1, p. 81-114
61. M о s e r J. On the theory of quasi-periodic motions.- SIAM Rev.,
1966, vol. 8, № 2, p. 145-172.
62. Мозер Ю. О разложении условно-периодических движений в сходящиеся
степенные ряды,-УМН, 1969, т. 24, № 2, стр. 165-211.
63. М о з е р Ю. Лекции о гамильтоновых системах.- М.: Мир, 1973.
64. Немыщкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных
уравнений.- М.- Л.: Гостехиздат, 1949.
65. Немыцкий В. В. Некоторые современные проблемы качественной теории
обыкновенных дифференциальных уравнений.-УМН, 1965, т. 20, № 1, стр. 1-
34.
66. Немыцкий В. В. Топологическая классификация особых точек -Диф.
уравнения, 1967, т. 3, № 3, стр- 359-370.
ЛИТЕРАТУРА
303
67. Р е i х о t о М. М. Qualitative theory of differential equations
and structural stability. - В кн.: Differential equations and dynamical
systems/Eds. J. K. Hale, J. P. LaSalle.- New York: Acad. Press, 1967.
68. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Избр. тр., т. 1.- М.:
Наука, 1971.
69. R о е 1 s J. Orbites de longues periodes resonantes autour des
points equilateraux de Lagrage, 1, 2.- Astron. Astrophys., 1969, vol. 1,
№ 1, p. 77-90; № 3, p. 380-387.
70. Roe I s J. An extension to resonant cases of Lyapunov's theorem
concerning the periodic solutions near a hamiltonian equilibrium.- J.
Diff. Eq., 1971, vol. 9, № 2, p. 300-324.
71. Розе М. Нелинейные колебания и теория устойчивости.-М.: Наука,
1971.
72. S a n s о n е G., Conti R. Nonlinear differential equations.- New
York: Pergamon Press, 1964.
73. Зигель К. JI. Лекции по небесной механике.- М.: ИЛ, 1959.
74. U г a b е М. Nonlinear autonomous oscillations.- New York: Acad.
Press,
1967.
75. У и т т е к е р Е. Аналитическая динамика.- М.: ОНТИ, 1937.
76. Z е i р е 1 Н. Recherches sur le mouvement des petites planets.-
Arkiv. Astron. Mat. Phys., 1916-1917, t. 11, 12, 13.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
•
ЗАМЕЧАНИЯ, НЕКОТОРЫЕ ОТКРЫТЫЕ ВОПРОСЫ И ИССЛЕДУЕМЫЕ ЗАДАЧИ
Методы усреднения используются уже довольно давно, п к настоящему времени
мы накопили опыт их применения и приобрели необходимую интуицию. Они дают
удивительно хорошие результаты, которые, вообще говоря, даже лучше, чем
можно было бы ожидать исходя из чисто математических оценок. Как бы ни
была хороша оценка для общего случая, ясно, что в конкретной задаче может
быть получена лучшая оценка. Другим аспектом рассматриваемого вопроса,
особенно в задачах, где угловые частоты могут быть получены
непосредственно из наблюдений, является то, что значительно более хороший
результат получается, если такие частоты (их численные значения)
используются в аналитической теории. Тогда периодические колебания около
некоторых средних значений, полученные в виде аналитических выражений,
оказываются в хорошем согласии с наблюдениями. Вероятно - это одна из
причин успеха теорпи движения Луны Хилла - Брауна по сравнению с теорией
Делоне. Рассмотрение вопросов такого рода показывает, что эта старая
проблема остается открытой до сих пор, и никакие имеющиеся в нашем
распоряжении "современные" методы не дают возможности вычислить
действительные частоты нелинейной системы. Для приложений эта проблема
остается нерешенной, так как в приближениях рядами, сходящимися или
только формальными, может быть вычислено лишь конечное и, вообще говоря,
очень небольшое количество членов. Пока нельзя найти способа выражения
общего члена и суммы этих рядов. В прошлом этого можно было достичь
только для тривиальных примеров. Таким образом, мы обращаемся к
нелинейному методу решения. Можно добавить, что ускоренные методы
сходимости, типа метода Ньютона, которые были введены Колмогоровым,
привели к реальному прогрессу в достижении этой цели. Но даже здесь
известны случаи, когда метод Ньютона не дает квадратичной сходимости:
должны быть
удовлетворены некоторые специальные условия. Кроме того, до сих пор были
развиты только численные приложения этого метода. В численном анализе
существуют также методы решения дифференциальных уравнений, которые в
конечном счете дают сходимость лучше квадратичной. В основном они
