Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
подставляя во второе, получим
У =
У
2 и;
Ох
2 V0y X +------^Х.
"0Х
Это уравнение параболы, проходящей через начало координат, ветви которой
либо направлены вверх (рис. 1.9, а), если ау> 0, либо вниз (рис. 1.9, б),
если ау < 0, а вершина расположена в точке с координатами
u0s u0_y а..
uo у
У* = ~2ау'
При криволинейном равноускоренном движении путь, пройденный материальной
точкой за время от t0 до t, можно вычислить лишь с помощью
интегрирования: ,
ДS= J о (г) dt,
где 'о
о(0 =
а проекции вектора скорости их и в момент времени / на оси системы
координат нужно взять из (1.29). Задача о нахождении пути при
криволинейном движении выходит за рамки школьной программы.
Абсолютное, относительное, переносное движение материальной точки.
Сложение скоростей и ускорений Пусть имеется неподвижная система отсчета
К и система отсчета К', движущаяся поступательно (углы между осями ОХ и
OX,' OY и О Y, OZ и O Z' остаются все время постоянными) относительно К
(рис. 1.10).
13
X*
Рис. 1.10
dr_ dt
dr'o dr*' dt + dt '
Положение материальной точки M в системах отсчета К и К' в один и тот же
момент времени определяется радиус-векторами г* и г* соответ-, ственно.
Из рис. 1.10 видно, что
?=%+?: (1.31)
где rj - радиус-вектор начала координат О' системы К' в системе К.
Взяв производную по времени от левой и правой частей уравнения (1.31),
получим
или и = о0 + о' (1-32)
где V? - скорость материальной точки относительно неподвижной системы
отсчета A-; v?' - скорость материальной точки относительно движущейся
системы отсчета К\ v?0 - скорость поступательного движения системы
отсчета К' относительно системы К. Скорость Т? называется абсолютной
скоростью материальной точки, скорость 1?' - ее относительной скоростью,
а скорость uj) - переносной.
Продифференцировав (1.32) еще раз по времени, получим
или
Я=а0+^'
(1.33)
d\$ d\f' dt dt + dt
где ~ct - ускорение материальной точки в системе К\ <?' - ее ускорение в
системе К\ а0 - ускорение системы отсчета К.' относительно К.
Из полученных правил сложения скоростей (1.32) и ускорений (1.33), в
частности, следует, что если материальная точка участвует в нескольких
движениях со скоростями и,, и2, о
3 > •
и ускорениями ау, а2, аъ,.
то результирующие скорость и и ускорение а материальной точки
относительно неподвижной системы отсчета К определяются выражениями
<?=<?! +a2 + d3 +,
j2-t-u3-t-..., (1.34)
+ a^ + .... (1.35)
Кинематика движения материальной точки по окружности
Пусть материальная точка совершает плоское движение по окружности
радиусом R. Выберем систему координат, плоскость XOY которой совпадает с
плоскостью движения материальной точки, а начало координат совпадает с
центром окружности, описываемой материальной точкой (рис. 1.11). Скорость
движения материальной точки >?, направленная по касательной к траектории,
всегда перпендикулярна радиус-
14
вектору материальной точки 7? а величина радиус-вектора | /| = R не
меняется со временем.
При движении материальной точки по окружности, помимо скорости I?,
которую часто называют линейной скоростью, удобно использовать понятие
угловой скорости материальной точки ю.
Средней угловой скоростью <ю> материальной точки на данном участке
движения назовем величину, равную отношению уппа поворота Дф точки за
некоторый промежуток времени At к этому промежутку времени:
(1-36)
Дф
<со> = -
At
а угловую скорость ю определим, как предел, к которому стремится <ю> при
At -" 0:
со = lim <ю> = lim ^ , (1.37)
д/->0 Д/-"0 At at
где dy - угол, на который поворачивается радиус-вектор материальной точки
?за бесконечно малый промежуток времени dt.
Легко найти связь между угловой скоростью ш и модулем линейной скорости и
материальной точки. За время dt материальная точка пройдет путь dS по
дуге окружности радиусом R (рис. 1.12), причем
dS=Rdy. (1.38)
Очевидно, что, независимо от характера движения, путь AS, пройденный
точкой за произвольный промежуток времени At, будет равен AS = R Дф, где
Дф - угол поворота радиус-вектора точки за этот промежуток времени.
Поскольку величина линейной скорости (см. (1.13))
dS
Рис. 1.12
U =
dt
то подставив (1.38) в (1.39) с учетом (1.37), получим
R d<$>
о = -,=R ю. dt
(1.39)
(1.40)
Угловым ускорением е материальной точки называется величина, равная
пределу, к которому стремится отношение приращения угловой скорости Дю за
промежуток времени At к этому промежутку времени при стремлении
последнего к нулю
Дю diо
е = lim - , , м-*0 At dt
т.е. производной от угловой скорости по времени.
(1.41)
15
Из (1.41) видно, что е > 0, если угловая скорость материальной точки ш
увеличивается со временем, е < 0, если угловая скорость уменьшается со
временем, и е = 0, если ю = const.
Используя соотношения (1.40) - (1.41), можно найти нормальное а" и
тангенциальное ах ускорения материальной точки при ее движении по
окружности радиусом R:
а" = -^- = ш2Я, (1.42)
du п dm _ ...
а'с~ dt dt ~
Тогда полное ускорение материальной точки
