Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
безграничном уменьшении промежутка времени At:
дГ>
V) (0 - lim <и> = lim - =
д > о д<->оАt
где штрих означает производную по времени, которую принято записывать в
виде
7
^(0=^(0 = 37,
f, (1.8)
где dr- перемещение материальной точки за бесконечно малый промежуток
времени dt.
Заметим, что при At -> 0 вектор Лг*-> dr* и направлен в сторону
движения по касательной к траектории материальной точки в момент
време-
ни t, а по абсолютной величине
\d?\ = dS. (1.9)
Итак,
d?
Аг
-*, ч w/ |. ;-w |. г АхАу-т" Ах-**
u (п = -г = lim - = lim J- / + j + - к dt д/-"о Af Д/-+01 At At At
(1.10)
dx-> dy-г" ,r
= -/ + -Г/+ - Л = u
dt^ + dt
.xi + uyj + uz
X
где проекции вектора скорости на оси декартовой системы координат dx
dy dz
V*=dt
dy
*y = dt'
Uz dt
(1.11)
а модуль вектора скорости
и = |T?| = * и" + ой + о:
dz i dt J
dt>^dt>''dt>- <U2> Таким образом, вектор скорости материальной точки ij
(/) направлен по касательной к траектории в сторону движения, его
проекции на оси OX, OY, OZ определяются соотношениями (1.11), а
абсолютная величина - выражением (1.12).
Модуль вектора скорости также можно определить (используя (1.9)) с
помощью выражения
| dr | dS ,,
U=|0|=V "л-- (u3)
т.е., взяв производную от пути по времени.
Вектор ускорения материальной точки. Пусть материальная точка,
перемещаясь по своей траектории (рис. 1.3), находилась в момент времени t
в точке М, а в момент времени / + At - в точке М! Векторы скорости 2к
v?(0 и и(г + АГ) в точках МиМ' на-
правлены по касательным к траектории. Если движение материальной точки
криволинейное, то, очевидно, направления I? (/) и \$(t + At) не сов-Y
падают. Перенесем начало вектора V? (/ + АО, не изменяя его направления,
в точку М и соединим вектором АТ? конец вектора v? (f) с концом
перенесенного вектора i?(i + At):
Av? = v? (Г ч- A/)-i?(0. (1.14)
Jj (t+At)
Рис. 1.3
8
Вектором среднего ускорения за время Дt называют отношение приращения
вектора скорости ко времени, за которое оно совершено:
= (1.15)
Направление вектора <а> совпадает с направлением До (рис. 1.3).
Предельный переход в выражении (1.15) при At, стремящемся к нулю,
определяет вектор ускорения материальной точки в момент времени t:
? = lim T^ = tf'(0 = ^7-. (1.16)
Д/->0Дг dt '
где d\i - приращение вектора скорости за бесконечно малый промежуток
времени dt.
Выражение (1.16) можно записать в виде
-> dvx-jy d\)y _" dvz_> _у ^
a = -^i + -jf-j + -^k=axi + ayJ + aLk. (1.17)
Следовательно, проекции вектора ускорения на координатные оси d\jY duv
dv7
a* = ~dT' аУ= dt ' az = ~dF' (U8)
а модуль вектора ускорения
a = U
Следует отметить, что понятия, аналогичного ucp (1.7), для ускорения не
существует. Если речь идет о среднем ускорении, то имеется в виду вектор
среднего ускорения <а> (1.15).
Нормальное и тангенциальное ускорения материальной точки. Если движение
материальной точки плоское (будем в дальнейшем считать, что траектория
материальной точки лежит в плоскости XOY), то вектор ускорения ~а всегда
можно разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие (рис. 1.4)
'#='#" +а^, (1.20)
где ~ап - нормальное (или центростремительное) и ~ах - тангенциальное
(или касательное) ускорения матери- Рис 14
альной точки. Вектор ап всегда направлен к центру кривизны траектории О в
точке М, а вектор ~ах лежит на касательной к траектории в точке М и может
быть направлен как в сторону движения, так и в противоположную сторону.
Такое разложение вектора ускорения ~а связано с тем, что вектор скорости
материальной точки изменение которого в единицу времени характеризуется
ускорением, может изменяться как по направлению, так и по абсолютной
величине. Нормальное ускорение ctn характеризует быстроту изменения
направления вектора скорости материаль-
9
ной точки. Тангенциальное ускорение ~ах характеризует быстроту изменения
величины скорости материальной точки.
Можно показать, что абсолютные значения а" = \~ctn \ и ах-\~ах\
определяются соотношениями 2
= (1.21)
= (1-22)
где и = | v? | - модуль скорости материальной точки; R - радиус кривизны
траектории в данный момент времени.
Из (1.21) - (1.22) видно, что а" > 0 (причем ап = 0 при прямолинейном
движении: R -> °о), ах > 0 при ускоренном движении материальной точки, ах
< О, если материальная точка движется замедленно, и ах = 0 при
равномерном движении.
Из (1.20) и рис. 1.4 следует, что абсолютные значения величин а, а", ах
связаны между собой соотношением
а = \Я\ = '1а2" + а2х. (1.23)
Задачи кинематики
Прямая (основная) задача формулируется следующим образом: задан закон
движения, требуется определить основные кинематические характеристики
движения - скорость и ускорение материальной точки. Решение прямой задачи
обычно не представляет существенных физических трудностей: скорость и
ускорение находят по определению. Закон движения может быть задан в форме
(1.2) или (1.3), а решение найдено с использованием соотношений (1.8),
(1.16) или (1.10)-(1.11), (1.17) соответственно.
