Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
ь = '1ь2х + ь2у+ь1.
Для определения угла между двумя произвольными векторами a = axi + ауj +
azk и b = bxt + byj + azk
удобно воспользоваться скалярным произведением векторов. По определению
у ->
a - b = а Ь-cos а,
где а - угол между направлениями векторов а и Ь\ а и b - их модули. С
другой стороны
-¦ *]А / • *7^ , -А
а ¦ b = (ах i + ayj + az к) \bx i + byj + az к) ¦¦
Следовательно,
a b-cos а = ах Ьх + ау Ъу + аг bz,
или
= аХ ^Х + ау by + az
cos а
ax bx + °yby + az bz
ax bx + ay by + az bz
ab ^(a2 + a2 + a2z)(b2x + b2 + b2z) '
5. Путь, пройденный материальной точкой за время Д/ = t - f0, в рамках
школьной программы может бьггь определен только для случаев
прямолинейного движения. Пусть, например, материальная точка движется
вдоль оси ОХ по закону х = х (t). Ясно, что в случаях равномерного
движения точки путь, пройденный за время At, равен разности координат
точки в конечный t и начальный /0 моменты времени. Причем, так как путь
положителен при любом направлении движения и может только возрастать, то
в общем случае равномерного движения его нужно определять как модуль
разности координат
Д5'=|дс(0-дс(/()| .
Если точка участвует в равнопеременном движении, то без анализа движения
вычислять путь через разность координат точки в конечный и начальный
моменты времени нельзя. В случаях равнопеременного движения прн
вычислении пути можно поступать следующим образом:
18
а) определить закон изменения скорости н ускорение точки:
/л - <^У>Х
МО- dt , ах- dt ,
б) определить скорость точки в начальный момент интересующего иас
интервала движения о0 = их (/= 1^. Еслн скорость и0 точки и ее ускорение
имеют одинаковые знаки (это означает, что точка движется равноускоренно в
данном направлении), то путь, как и в случае равномерного движения, может
быть определен через модуль разности координат в конечный t и начальный
10 моменты времени. Если и0 и ах имеют разные знаки, то в данном
направлении точка движется равнозамедленно и, следовательно, в какой-то
момент времени остановится (точку, в которой это произойдет, будем
называть точкой разворота). Так как в точке разворота скорость частицы
становится равной нулю, то для определения момента времени 1р,
соответствующего точке разворота, следует приравнять значение скорости к
нулю. Очевидно, что при равнопеременном движении точка разворота всего
одна;
в) сравнивая значение времени t с моментом разворота 1р, определяем
путь, пройденный точкой. Если /р Z t (т.е. точка остановится после
момента времени t), то путь можно найти как модуль разности координат в
моменты времени t и t0. Если <р < /, то для определения пути можно
поступить любым из трех способов:
- вычислить отрезки пути, пройденные точкой от момента времени 10 до
момента разворота и от момента разворота до момента времени t\ полный
путь за время Дt=t~tQ вычислить как сумму этих отрезков пути:
as=|* Ор)-х (<о)|+1 * (0-*('р)1;
- построить график зависимости модуля скорости точки | их [ на
отрезке времени [f0, t] и путь определить как площадь фигуры под графиком
| их ( от t (см. рис. 1.7);
- вычислить путь непосредственным интегрированием выражения для
скорости материальной точки:
I р I I ' I
&S= ||ихл| + I Ju,A| .
'р
Если ускорение точки не постоянно, то решение задачи на определение пути
принципиально не отличается от решения задачи на равнопеременное
движение. Особенность состоит лишь в том, что в таких случаях может быть
несколько точек разворота.
6. Средняя путевая скорость движения материальной точки за время Дt
является скалярной величиной и равна отношению пути, пройденного
материальной точкой за время Д/, ко времени, за которое этот путь пройден
(1.7).
Вторую группу задач по кинематике материальной точки составляют обратные
задачи, в которых требуется по известному закону изменения скорости точки
или ускорению определить закон движения. Не нарушая общности, можно
считать, что в обратной задаче по известному ускорению материальной точки
(зная закон изменения скорости, взяв производную, легко можно найти
ускорение) требуется восстановить закон движения. Так как в общем случае
решение обратной задачи требует знания интегрирования, то в рамках
школьной программы рассматриваются задачи не сложнее, чем на
равнопеременное движение. В этом случае закон движения выражается
формулой (1.25), а скорость - (1.24).
Использовать векторные уравнения при решеиин многих задач обычно
неудобно, поэтому уравнения движения записывают в скалярной форме, т.е.
уравнения r'(t) и и (<) проецируют на оси декартовой системы координат.
Выбор системы отсчета может быть произвольным. Начало системы координат
удобно совместить с положением точки в начальный момент времени fo = 0
(при этом = дс0 i + y0j + Zq /t = 0). В случае равномерного движения (а =
0, iJ = const) движение может быть описано с помощью проекции уравнения
(1.2S) лишь на одну ось, если ее направить вдоль вектора скорости тела.
Если движение тела равноускоренное, удобно одну из осей
