Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Обратная задача кинематики может быть сформулирована следующим образом:
заданы ускорение ~а материальной точки, ее начальная скорость v?0 и
положение ~г0 в начальный момент времени t - /0. Требуется определить
скорость I) материальной точки и ее положение ~г в произвольный момент
времени /.
Обратная задача гораздо сложнее прямой задачи кинематики и, как правило,
для ее решения необходимо обладать навыками интегрирования. Поэтому нас
будет интересовать лишь тот случай, когда заданное ускорение материальной
точки не меняется со временем ни по величине, ни по направлению. Такое
движение называется равнопеременным. В этом случае решение обратной
задачи имеет следующий вид:
о (/) = Uq + t(t -10), (1.24)
_> _> . ~ait-t0)2
r(t) = r0 + u0it-t0) +-------. (1.25)
Формулы (1.24) - (1.25) исчерпывают все возможные случаи равнопеременного
движения. Рассмотрим некоторые важные частные случаи.
10
Равномерное прямолинейное движение материальной точки Пусть ускорение
материальной точки ~ct= const = 0. Тогда из соотношений (1.24) - (1.25)
следует, что
r( 0 = ?o+%<t-Q, ( }
т.е. скорость материальной точки не меняется со временем и всегда
совпадает по направлению с вектором начальной скорости vf0 . Таким
образом, материальная точка движется
равномерно и прямолинейно. Если , и° , ^
направление оси ОХ выбрать вдоль •------------------------------------>
вектора v)0 (рис. 1.5) и спроецировать
соотношения (1.26) на эту ось, то по- Рис. 1.5
лучим
о* (/) = О0,
* (0 = *0 + %(* - 'о)-При этом путь, пройденный материальной точкой
от начала движения до момента времени t, равен
&S = x(t)-x0 = v0it-t0).
Равнопеременное прямолинейное движение материальной точки Если вектор
ускорения материальной точки постоянен и отличен от нуля, т.е. (t*0, а
вектор начальной скорости ij0 либо равен нулю, либо коллинеарен с
вектором ~а, то мате- ^ ->
риальная точка будет двигаться пря- о * ---> х
молинейно вдоль линии, на которой * ^
лежат векторы иа Если направ-
ление оси ОХ выбрать вдоль вектора Q , а , и° г х
v?0 (рис. 1.6) и спроецировать соотно- •-----------------------------¦->
шения (1.24) - (1.25) на эту ось, то получим Рис 16
Г Од; (0 = и0 + ax(t -t0),
j ax(t - /0)2
[ x (0 = x0 + v0-(t -10) +-------,
где ax = а (а- модуль вектора ускорения), если направления векторов и0 и
а совпадают (рис. 1.6, а); ах = - а, если направления векторов vf0 и ~а
противоположны (рис. 1.6, б). В первом случае движение называют
равноускоренным, во втором - равнозамедленным.
При определении пути, пройденного материальной точкой при прямолинейном
равнопеременном движении, следует различать два случая:
а) равноускоренное движение: ах = а > 0. Очевидно, что путь,
пройденный материальной точкой от начала движения до момента времени t,
равен Ht-tf
AS = x(t)-x0 = и0-(t-t0) +---- --;
б) равнозамедленное движение: ах = - а < 0. В этом случае для нахождения
пути материальной точки можно построить график зависимости
| их | от времени (рис. 1.7). Из определения модуля следует, что
о0-a-(t-t0) при t<tp, -о0 + ait-t0) при t>tp, где tp - момент времени,
когда материальная точка останавливается. Из условия vx (tp) = 0 получим
о0
'р~'о+ а ¦
Путь, пройденный материальной точкой за время от t0 до t, численно равен
площади под графиком | о* | между точками /0 и t (эта площадь на рис. 1.7
заштрихована).
Равнопеременное криволинейное движение материальной точки Материальная
точка совершает равнопеременное движение по криволинейной траектории,
если ее вектор начальной скорости и постоянный вектор ускорения а не
расположены вдоль одной прямой. В этом случае обычно выбирают систему
координат таким образом, чтобы плоскость XOY совпадала с плоскостью, в
которой лежат векторы и, и? (рис. 1.8). Тогда на основании соотношений
(1.24) - (1.25) получим
их(0 = о0;с+ %¦(?-'о). иу (0 = и0у + ay-(t -10),
Рис. 1.8
(1.27)
'*(0=*0 + U0;t'('-?0) +
ax (t -10)
^У(0=Уо + иоу<(
a-(t /0)
-'о) + ^--------------
(1.28)
где х0, у0 - положение материальной точки в начальный момент времени t0;
v0x, и0у - проекции вектора начальной скорости \?0 на оси ОХ и OY
соответственно; ах, ау - проекции вектора ускорения ~а на эти же оси.
Формулы (1.27)-(1.28) существенно упростятся, если, например, ось OY
направить по линии, вдоль которой направлен вектор ~а, а начало координат
поместить в точку, где находилась материальная точка при t = t0. Тогда ах
= 0, х0 = 0, у0 = 0 и уравнения (1.27) - (1.28) примут вид
Чс(0 = О0х. uy(t) = v0y + ay{t-t0),
(1.29)
12
x(t) = v0xit-t0),
('-to)
(1.30)
Из соотношений (1.29) - (1.30) видно, что в выбранной системе отсчета
материальная точка совершает движение в плоскости XOY, причем вдоль оси
ОХ она движется равномерно со скоростью u0x = const, а вдоль оси OY-
равноускоренно (или равнозамедленно) с ускорением ау = const.
Из соотношений (1.30) нетрудно получить уравнение траектории материальной
точки в явном виде: выражая (t -10) из первого уравнения (1.30) и
