Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
a = 'lct2" + ct2r=R'l со4 + е2. (1.44)
Прямая задача кинематики может быть сформулирована следующим образом:
материальная точка движется по окружности радиусом R так, что угол
поворота изменяется по закону ф (t). Требуется определить величины
угловой скорости ш и ускорения е точки в момент времени t. Решение задачи
может быть проведено с использованием определений (1.37) и (1.41). С
помощью соотношений (1.40) и (1.44) можно определить линейную скорость и
полное ускорение точки в этот момент времени.
Обратная задача кинематики состоит в следующем: материальная точка
движется по окружности радиусом R с угловым ускорением s. В начальный
момент времени t0 материальная точка находилась в заданной точке
окружности, в которой ее положение определялось углом поворота Ф0,
отсчитываемым от произвольно выбранной точки,, и имела угловую скорость
со0. Необходимо определить угловую скорость со и угол поворота Ф в
произвольный момент времени t.
Если угловое ускорение материальной точки е = const, то решение обратной
задачи имеет вид:
Г СО (/) = С00 + ?¦(/ - /0),
e-(t - t0f (1-45)
[ Ф (t) = Фо + a0it - t0) +-^---•
При вычислении пути следует различать, как и при прямолинейном движении,
два случая:
а) равноускоренное движение: s > 0. Путь, пройденный точкой по дуге
окружности от начала движения до момента времени t, в этом случае равен
Д-S = R ( ф (0 - фо} = R (ю00 - О + ? 2 ' 1;
б) равнозамедленное движение: е = -1 е | < 0. В этом случае
AS = R(
А , ч
значение ф (/) численно равно пл модуля угловой скорости от времени
AS = R$(t),
где значение ф (/) численно равно площади под графиком зависимости
16
со0 -1 е |-(Г - /0) при t<tp, |<B|, -to0 + |s|(r-g при t>tp (r)о
между точками t0 и t (рис. 1.13), где
О
момент времени, когда материальная точка изменяет направление своего
движения.
Рис. 1.13
В частном случае равномерного движения (е = 0)
Г со (0 = со0 = const,
1 Ф (0 = Фо + (r)о'(' - 'о)>
AS = R [ф (0 - ф0] = R со"•(/ - /0).
При равномерном движении материальной точки по окружности удобно ввести
понятия периода обращения (времени полного оборота материальной точки)
Г=- (1.46)
(r)о
и частоты обращения (числа оборотов за одну секунду)
Решение прямой задачи кинематики материальной точки основано на
применении закона движения к тому или иному конкретному условию. Движение
материальной точки полностью известно, если известен радиус-вектор/(0 как
функция времени или, что эквивалентно, три скалярные функции х (/), у
(t), z (0, представляющие собой проекции векторного уравнения движения на
оси декартовой системы координат. Эти функции содержат полную информацию
о движении точки и позволяют определить ее положение, скорость и
ускорение, а также другие характеристики движения в любой интересующий
нас моме!гт времени.
Если известен закон движения материальной точки относительно некоторой
системы отсчета в векторной (1.2) или координатной (1.3) форме, то решить
задачу можно на основании определений кинематики:
1. Вектор скорости в каждой точке траектории совпадает с касательной,
проведенной к траектории в данной точке, и направлен в сторону движения.
В зависимости от формы задания движения вектор скорости может быть
определен как производная от радиус-вектора движущейся точки по времени
(1.8), или по формулам (1.10) - (1.11).
2. Вектор ускорения материальной точки в зависимости от формы задания
движения может быть определен как производная от вектора скорости по
времени (1.16), или по формуле (1.17).
3. Вектор перемещения материальной точки за время Л/ направлен вдоль
прямой, соединяющей начальное и конечное положения точки, и определяется
выражением (1.4).
4. Вектор средней скорости материальной точки за время ДI равен
отношению вектора перемещения точки ко времени, за которое оно совершено
(1.5), и направлен вдоль вектора перемещения Дг*
= 1 = ^1 Т 2 п '
Рекомендации по решению задач
(1.47)
17
z
Ь.
z
-> / ь/
by у
'"--'•vi * / * V
Рис. 1.14
. ^b^bl а = arcsin -¦- b
В некоторых задачах требуется определить направление того или иного
вектора (перемещения, средней скорости, скорости или ускорения)
относительно какого-либо другого вектора или относительно осей выбраииой
системы координат, например, указать углы, которые образует данный вектор
с осями OX, OY, OZ системы координат. Для определения этих углов можно
использовать любую из известных тригонометрических^функций. Рассмотрим
произвольный вектор Ь. Угол а между направлением вектора Ь и осью ОХ
может быть опре-деленнк" (рис. 1.14)
¦'X3' Лы?
¦¦ arcoos -
= arctg -
JL
.Ь ~"в Ьх
Аналогичным образом можно определить углы (3 и у между вектором b и осями
OY и OZ. Наиболее часто для этих целей используются так называемые
направляющие косинусы:
cos а = -
cos (3
Л
cos у =
где bx, by, bz - проекции вектора b на оси декартовой системы координат;
b - модуль вектора, который равен корню квадратному из суммы квадратов
проекций данного вектора на оси системы координат:
