Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
операторы а+ и Ь+, вызывающие "спиновые возбуждения" в магнитных
подрешетках со спинами, направленными вдоль и против оси z, определяются
через спиновые операторы
554 ОПТИЧЕСКИЕ ПЕРЕХОДЫ В КРИСТАЛЛАХ [ГЛ. XIII
соотношениями
S?=a"^2S,
5"=41/2S, Sm = bmV2S, (63.3)
5^ = 5-aJa", S* = -S + WA".
Проведя это преобразование в (63.2) и (63.3) и опуская постоян-ные
слагаемые, не зависящие от операторов, получим [443]
mag = JS 2 (О-пО-п ~Ь ЬтЬщ ~Ь CL/tbm Ч* апЬт) +
Ч~ IхвНА { У, О-пО-п ~Ь У! ЬтЬт\. (63.4)
п, т
При переходе парамагнитного иона в электронное возбужденное состояние его
спин изменится, поэтому изменится и его обменное взаимодействие (J-+J') с
соседними ионами другой магнитной подрешетки. Это изменение обусловливает
взаимодействие экситона с магноном, которое мы напишем в простейшем виде
e/f int =pJS (а+папВ+тВт + Ы1ЬтВ*,Вп), (63.5)
где
р = (J'S' -JS)/JS (63.6)
- параметр, характеризующий взаимодействие экситонов с магно-нами.
Оператор спиновых возбуждений (63.4) диагонализируется переходом к
операторам магнонов а* и р* с помощью соотношений
а* = у~ ["* 2 + Vk 2 е'ктЬтJ.
Р* = р~ ^ukJ^e-'kmbm - vh 2 erikn ал|.
(63.7)
Магнонные операторы удовлетворяют перестановочным соотноше" ниям
[a*, at] = 6**-, [Ра, pt] = 6**.. (63.7а)
Выраженный через операторы магнонов оператор (63.5) имеет
вид
e^mag = * (ft) (a*a* + Р*Р*)• (63.8)
к
Здесь энергии магнонов ((ft) и функции ик, vk определяются формулами
"2 (ft) = (Е0 + ЦвНа)2 - Еоу1, (63.9)
E0 - JSZ, у* - у 2 ехР (63-10)
§ 63] ЭКСИТОН-МАГНОННОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ 555
Z -число ближайших соседей из другой магнитной подрешетки; суммирование
ведется по всем Z-векторам 8, определяющим положение этих соседних ионов,
" Ео + (IцНд +* (к) о- Ео + д - < (к)
Uft= Щк) '* Vk'= * (63.11)
2икиь^УьЕ0/( (k).
Оператор взаимодействия экситон-магнонного возбуждения с электромагнитной
волной напряженности
Е(t) = Е0 ехр [г (Qr - cot)] + э.с.
в длинноволновом приближении можно записать в виде
w(t) = - PE(t), (63.12)
где эффективный электродипольный момент перехода определяется равенством
Р= ?! (P(tm)BnSm + PnmBtlS") +Э.С. (63.13)
п, т
В этом выражении Рпт - матричные элементы эффективного элек-тродипольного
перехода, соответствующего электрон-магнонному возбуждению пары ионов. В
микроскопической теории они вычисляются [416] во втором порядке теории
возмущений по кулонов-скому взаимодействию между ионами при учете
промежуточных нечетных электронных состояний ионов. При возбуждении ионов
изменяется спин, поэтому матричные элементы Рпт имеют обменный характер,
следовательно, в сумме (63.13) можно учитывать только ближайших соседей.
С помощью преобразований (63.3) запишем (63.13) в виде
Р = 25 2 Рпт {ВпЬт - B-ndV) + э.с. (63.1 За)
ПТП
Компоненты мнимой части диэлектрической проницаемости вдоль главных осей
x,y,z определяются выражением
ехх (со) = 1ш ((Рх; Pi"~, (63.14)
где V - объем элементарной ячейки кристалла, N - число элементарных
ячеек, ((Рх\ Рх))а - фурье-образ запаздывающей гринов-ской функции
операторов электродипольных моментов Рх.
Используя симметрию кристалла, можно выразить матричные элементы Р"т,
входящие в (63.13 а), через небольшое число параметров. Например, в
кристалле RbMnF3, принадлежащем к пространственной группе Did,
возбуждению экситона Е1 совместно с магноном соответствует согласно
Паркинсону и Лаудону [443]
556 ОПТИЧЕСКИЕ ПЕРЕХОДЫ В КРИСТАЛЛАХ [ГЛ. XIII
функция Грина
((Рх, P1))~=2SN (}А\* + 2\В\?)[((ВпЬт-, В;^"5 +
+ ((ВпЬт- Д^"_5], (63.15)
где векторы п - т, п - п', т - т' соединяют соседние ионы.
Функции ((,B"bm; Вп'Ьт')) " должны согласно (Д.6) математического
дополнения удовлетворять уравнениям типа
/гсо {{В"Ьт\ В+-Ьт-"~ =
= ф\[ВпЬт- Вад|0) + "[ВяЬт, ВЖп-))^ (63Л6)
где
e%'=e^ex + ^rmag + ^-int (63.17)
- полный гамильтониан системы. Усреднение ведется по состоянию без
экситонов и магнонов, которое определяется условиями
В"|0> = Вя,|0> = а*|0> = р*|0> = 0. (63.18)
Используя преобразования (63.7), условия (63.18) и перестановочные
соотношения для операторов, получаем
<0 i [Bnbrn-, Bt'b^} I 0) = бпп' <0 I ЬмЫп- \ 0) =
= -д; 2 e'<*'m~Avn') <01 (И4.Р*. - vk;al) (M*,PJ, - w*2a*2) 10) =
= - '^uhexplik.itn - tri)]. (63.19) k
Учитывая явный вид гамильтониана (63.17) и (63.19), преобразуем уравнение
(63.16) к виду
(/гсо - Еех - Е0 - V-вНа) (,(.ВпЬт! В%'Ьт'У)~ = бпл' (0 J bmbm' | 0) -f-
+ 7°21"ад* + в: Bt>b+m'))~ +p((Bnbmbn'+6b+n+6i ВЬЫп'У>~].
6 (63.20)
Взаимодействие между экситонами и магнонами включает в уравнение (63.20)
гриновские функции более высоких порядков. Используя (Д.6), можно для них
найти уравнения, содержащие функции еще более высоких порядков. Для
получения замкнутой системы уравнений приходится вводить упрощения, сводя
функции более высоких порядков к функциям низших порядков. Например,
((Bnbmbn+6bt+6; ВХ-Ып'))- -
- ф | | 0) {{Bnbm; ВХ'Ьт'))~
"Ь (0 | ЬтЬ%+ь 10) (\ВПЬП-i-в; ВП'Ьт'')')
ЭКСИТОН-МАГНОННОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ
557
Чтобы упростить вычисления, ниже мы рассмотрим простейший случай, когда
