Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
чтобы выполнялись соотношения (6.16). Операторы, удовлетворяющие (6.19),
называются операторами Бозе.
Подставив (6.18) в (6.17), мы выразим оператор энергии через новые
операторы
H = ~2lQ{k)[btbk + bkbt]- (6,20)
k
I
Проведя соответствующее преобразование в (6.6), находим оператор смещения
я-го атома из положения равновесия
^ = S Y2rnNQ (ft) еХР (bk + btk)- <6-21)
k
Перейдем к выяснению физического смысла новых операторов Ьк и bi¦ Эти
операторы действуют в пространстве функций (см. [5])
i ..., V*, ...),
зависящих от чисел заполнения v*(= О, 1,2,...) состояний, характеризуемых
волновыми векторами. Пусть
|v*) = |0, 0, ..., V*, ..., 0);
тогда для выполнения перестановочных соотношений (6.19) следует
/определить действие операторов 6*, bi на функции |v*> следующими
правилами:
bt | v*) =]/v*+ 1 | v*+ 1), fr* | v*) =-l/v* | v* - 1). (6.22)
Будем предполагать, что функции |v*> нормированы условием.
<V* |v*<) = 6*. _ (6.23)
Из (6.22) следует, что оператор bi увеличивает, а оператор Ьк уменьшает
число v* на единицу в состоянии, определяемом функцией |vft). Используя
(6.22), легко убедиться в справедливости равенств
bibk |v*) = v*|v*), M*|v*) = (v*-fl)|v*). (6.24)
Из (6.24) следует, что функции | v*) являются собственными функциями
оператора bib*, соответствующими собственным значениям v*.
§ 61 ФОНОНЫ В КРИСТАЛЛЕ С ОДНИМ АТОМОМ В ЯЧЕЙКЕ
37
С помощью перестановочных соотношений (6.19) оператор энергии (6.20)
преобразуется к виду
H='^lhQ(k)(btb" + 1^. (6.25)
ь
Оновное состояние кристалла описывается функцией [ 0). В этом состоянии
энергия
?0 = <0|Я|0> = у2АО<*) <6-26>
*
имеет наименьшее значение.
В гайзенберговском представлении [5] изменение операторов Ьк с течением
времени определяется уравнениями
ihbk (t) = [bk (t), Я], bk (0) = bk.
Подставив значение (6.25) и использовав перестановочные соотношения
(6.19), находим
bk (t) = bb exp (- iQ (ft) t).
Энергия кристалла в состоянии | v*) определяется согласно (6.24) и (6.25)
выражением
= <v* | ЯI vA) = Е0 + vkhQ (ft). (6.27)
С помощью оператора (6.21) найдем, что в том же состоянии среднее
значение смещения я-го атома равно нулю,
а среднее значение квадрата смещения не зависит от номера атома
<v*lsil 2 WmNQWrK (6.28)
k'(фЩ
Второе слагаемое в (6.28) характеризует вклад "нулевых .колебаний" (когда
все vft = 0).
Значению ft = 0 соответствует смещение кристалла как целого. При этом
?2(0) = 0. Таким образом, при ft = 0 колебания атомов отсутствуют и это
значение надо исключить из суммы (6.28). В эту сумму входят только такие
ft, абсолютная величина которых равна или больше 2л/N а, при этом
Итак, стационарные возбужденные состояния кристалла распределены по всему
кристаллу и характеризуются волновым вектором ft (следовательно,
квазиимпульсом Hk и энергией hQ, (ft)). Эти возбужденные состояния
называются фононами. Согласно (6.10) состояния с волновыми векторами ft и
-ft имеют одинаковую энергию.
Числа V* в функциях j v*) указывают, сколько фононов имеется в данном
состоянии. Функция | v*) состояния с v* фононами
38
ФОНОНЫ В КОВАЛЕНТНЫХ И МОЛЕКУЛЯРНЫХ КРИСТАЛЛАХ [ГЛ. II
может быть получена путем последовательного применения оператора Ы к
функции нулевого состояния |0):
| V*) = (vjs!)~1/2 (ЬкТк I 0).
На рис. 10 изображена частота фононов
Й (к) = Й (- k) = 2
sin
(ka)
(6.29)
Зная частоту фононов как функцию к, можно вычислить фазовую Vf и
групповую Vg скорости соответствующих элементарных возбуждений
Vi =
Q (ft)
ЧУ;
sin
(ka)
Длинноволновые возбуждения, ka и (6.30) характеризуются величинами
у dQW.= 1/_Y lcos М
уе dk У т ILUb 2 *
(6.30)
2л а
<^1, согласно (6.29)
(к) = kay^- = kVf, Vf = Vg = a У
(6.30а)
Длинноволновые возбуждения можно рассматривать как упругие волны в среде.
Скорость упругих волн (скорость звука) определяется в механике выражением
Уас = |/?7'р, где Е - модуль Юнга,
р -плотность. В нашем случае р = = т/а, и модуль Юнга, определяющий
отношение силы у (?" - g"_x) к вызванной ею относительной деформации (?я
- ?,n-i)/a, равен Е = уа.
Таким образом, Уас =1/^-^ а. Следо-
вательно, рассмотренные нами элементарные возбуждения в пределе ka <! 1
совпадают с акустическими волнами в упругой среде. Поэтому эти
возбуждения называются акустическими фононами.
Когда волновой вектор приближается к границе зоны Бриллюэна
2а), фазовая скорость У,"j/^, а групповая скорость стремится к нулю.
Если желают отказаться от приближения ближайших соседей, то в
гармоническом приближении вместо (6.2) потенциальная
Рис. 10. Дисперсия акустических фононов.
(ka->jt, или X-
§ 6] ФОНОНЫ В КРИСТАЛЛЕ С ОДНИМ АТОМОМ В ЯЧЕЙКЕ
39
энергия будет определяться выражением
(б-з1>
rt, t
В этом случае, переходя к обобщенным координатам, мы снова получим
выражение (6.9), только квадрат частоты будет определяться формулой
¦та2 (ft) = 4^ YI sin2 -'-, I = la\ I = 1, ..., N. (6.32)
i
В сумме (6.32) достаточно учесть несколько первых слагаемых. Например,
при ван-дер-ваальсовом взаимодействии между атомами Y* = Yia(r)! ^1-6-
