Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
со" (- ft).
Симметрия оператора Гамильтона по отношению к инверсии времени может
привести к дополнительному вырождению энергетических зон кристалла.
Исследование этого вопроса впервые было проведено Вигнером в 1932 г. (см.
[3, 4]).
- В следующих главах мы рассмотрим более детально свойства
возбужденных состояний разного типа и их проявление в некоторых явлениях.
ГЛАВА II
ФОНОНЫ В КОВАЛЕНТНЫХ И МОЛЕКУЛЯРНЫХ КРИСТАЛЛАХ
По характеру сил, связывающих между собой атомы (ионы), твердые тела
подразделяются на молекулярные, ковалентные, ионные и металлические
кристаллы. Четкой границы между ними нет. Однако такое разделение удобно,
так как оно отражает преимущественный тип сил, действующих между
основными структурными единицами. '
В ковалентных и молекулярных кристаллах основными структурными единицами
являются нейтральные объекты - атсмы и молекулы, между которыми действуют
силы малого радиуса - ковалентные или Ван-дер-Ваальса. При ковалентных
силах энергия взаимодействия убывает с расстоянием экспоненциально. При
силах Ван-дер-Ваальса -обратно пропорционально шестой степени расстояния.
В ионных кристаллах большую роль играют дальнодействую-щие кулоновские
взаимодействия между ионами, образующими кристалл. Движение электрически
заряжённых ионов в таких кристаллах сопровождается появлением внутри
кристалла электромагнитного поля. Поэтому теория колебательного движения
ионов в ионных кристаллах (см. гл. III) более сложна, чем теория движения
атомов в ковалентных и молекулярных кристаллах.
В этой главе мы рассмотрим движение атомов в ковалентных и молекулярных
кристаллах. К таким кристаллам относятся многие диэлектрики - алмаз,
твердые инертные газы (Аг, Кг, Не, ...), кристаллы многих органических
веществ (СН4, С6Н6, Ci0H8, ...), полупроводники (Ge, Si, GaAs, GaSb и
другие).
§ 6. Фононы в одномерном кристалле с одним атомом в элементарной ячейке
Рассмотрим вначале для простоты одномерный кристалл, состоящий из
одинаковых атомов массы т, равновесные положения которых определяются
вектором решетки
п - па, п=1, 2, N.' (6.1)
34 ФОНОНЫ В КОВАЛЕНТНЫХ И МОЛЕКУЛЯРНЫХ КРИСТАЛЛАХ [ГЛ. II
Предположим, что поперечные и продольные смещения атомов
независимы. Пусть g" - одно из таких смещений для атома, зани-
мающего узел п. В потенциальной энергии U смещений нейтральных атомов из
положений равновесия можно учитывать только взаимодействия соседних
атомов (более общий случай смотри ниже), тогда
-?-)*. <6-2>
п
Кинетическая энергия выражается через скорости смещений с помощью функции
К = ~т^п. (6.3)
П
Введем циклические условия
^n-^n+Na- (6.4)
Одномерной решетке (6.1) соответствует зона Бриллюэна в й-про-странстве с
границами
- л ka < л.
Внутри этой зоны располагаются N неэквивалентных волновых векторов
= Ц = 0, ±.1,..., 4-- (6.5)
От смещений отдельных атомов удобно перейти к новым обобщенным
координатам Д*, которые характеризуют коллективные движения атомов,
соответствующие определенным значениям k. Для этого введем преобразование
l" = N-^^Ak4W(ikn). (6.6)
k
Новые переменные должны удовлетворять условию
Аь = А±ь, (6.7)
чтобы In оставалось вещественным. Суммирование в (б'.б) проводится по
всем значениям волновых векторов (6.5).
Используя (6.1) и (6.5), можно доказать два весьма важных равенства
-^-2ехР[1(* - k')n] = bkk', -jj- ^ exp [(' (п - it') k] = 6""-. (6.8)
п h
С помощью (6.8) находим обратное к (6.6) преобразование
Л* = N->/2 2 ехр (- ikn). (6.8а)
§ 6] ФОНОНЫ В КРИСТАЛЛЕ С ОДНИМ АТОМОМ В ЯЧЕЙКЕ
35
В результате преобразования (6.6) потенциальная и кинетическая энергии
кристалла выражаются через новые коллективные координаты и их временные
производные
U = ±m^Q*(k)AkA-k, K = ^m^AkA.k, (6.9)
k k
где
mQ2 (ft) = /nQ2 (- ft) - 4y sin2 . (6.10)
Классическая функция Лагранжа принимает вид ' •
L = K-U = ±m'2i [AkA_k - Q2 (ft) (6.11)
k
Из (6.11) следует, что обобщенные импульсы, соответствующие обобщенным
координатам Л*, равны
Pk = = тД_*. (6.12)
й/4*
Если ввести импульс р" = т|п, сопряженный смещению то
учитывая (6.8а), можно преобразовать (6.12) к виду
Pk = jV~1/2 2 рп exp (ikn). (6.13)
П
С помощью (6.9) и (6.12) определяется классическая энергия Е как функция
обобщенных координат Л* и импульсов Р*:
?=*+t/=l2b!r PkP-k+mQ2 wл-*] • (6-14)
к
Переход к квантовой механике сводится к замене во всех предыдущих
выражениях и рп операторами, удовлетворяющими перестановочным
соотношениям
[%п, Рп] = ЛЬп,п'- (6.15)
При такой замене обобщенные координаты (6.8) и импульсы (6.13) согласно
(6.15) удовлетворяют перестановочным соотношениям
[Аь, Р= ihbk, k'- (6.16)
Энергия (6.14) преобразуется в оператор энергии
H=j%{~P*P-k + mQ*(k)Aj_k}. (6.17)
А
От операторов Pk и Ak можно перейти к новым операторам bk>
36 ФОНОНЫ В КОВАЛЕНТНЫХ И МОЛЕКУЛЯРНЫХ КРИСТАЛЛАХ [ГЛ. II
btk с помощью соотношений
л"=/5@г<6'+6-")' р.=;|А5^Р-("-ь-.). (6.18)
Новые операторы Ьк, btk должны удовлетворять перестановочным соотношениям
[bk, = [bk, М = 0, (6.19)
