Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
распределяются между сингониями. Например, триклинная сингония содержит
два класса Сь 52; моноклинная-три С2, Cs, C2h, кубическая- пять.
Подробное перечисление всех классов и их распределение между сингониями
можно найти в книгах Китайгородского [1] и Любарского [2].
Совокупность элементов симметрии кристалла, переводящих все его точки в
им эквивалентные, образует пространственную группу кристалла. Группа
трансляций является подгруппой пространственной группы. Для трехмерных
кристаллов имеется 230 различных пространственных групп; для двумерных-17
и для одномерных- две. Полная классификация всех пространственных групп
была впервые дана Е. С. Федоровым (1895 г.) и несколько позже Шенфлисом.
Из 230 пространственных групп 73 являются простыми. В простых
пространственных группах все элементы симметрии соответствующей точечной
группы направлений в кристалле одновременно являются и элементами
симметрии пространственной группы. Следовательно, операции симметрии
точечной группы переводят в эквивалентные не только направления, но и все
точки кристалла, т. е. точечная группа является подгруппой
пространственной группы. ^
В остальных 157 пространственных группах точечная группа кристалла не
является их подгруппой. К группам этого типа относятся пространственные
группы кристаллов алмаза, кремния, олова, висмута, германия, антрацена,
нафталина и др. Эти пространственные группы в качестве элементов
симметрии содержат существенные винтовые оси и плоскости скольжения *).
Винтовые оси и плоскости скольжения представляют собой вращения и
отражения, сочетающиеся с трансляциями на некоторую часть периода вдоль
оси вращения и параллельно плоскости скольжения. Например, винтовая ось
второго порядка представляет собой поворот на-180° и последующую
трансляцию
*) Винтовые оси и плоскости скольжения называются существенными, если они
являются новыми элементами симметрии решетки Браве. В простой кубической
решетке имеются плоскости скольжения. Однако они не являются новыми
элементами симметрии.
26 . СИММЕТРИЯ И СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ КРИСТАЛЛОВ [ГЛ. I
вдоль оси поворота на половину периода. На рис. 7 дана иллюстрация
винтовой оси второго порядка (а) и плоскости скольжения (б) для разных
структур.
Элементарные ячейки одноатомных кристаллов, элементы симметрии которых
образуют простую пространственную группу, содержат по одному одинаковому
атому. Элементарные ячейки одноатомных кристаллов, пространственная
группа которых содержит винтовые оси или плоскости скольжения, содержат
по два и более одинаковых атомов. Например, элементарная ячейка кристалла
германия содержит четыре атома' германия и его пространственная группа
имеет винтовую ось четвертого порядка. Элементарные ячейки алмаза,
кремния, олова, висмута содержат по два атома; элементарные ячейки
молекулярных кристаллов антрацена и нафталина - по две молекулы.
а) б)
Рис. 7. Винтовая ось второго порядка (а) и плоскость скольжения (б).
Крестики указывают концы стрелок, а кружки - острия.
Если точечная группа R кристалла содержит I элементов симметрии (Е, R2,
R3, ••• . Ri)> то каждый элемент пространственной группы G кристалла
может быть представлен в виде произведения операции трансляции Т" на
"поворотные" элементы а (i = 2, ..., /), где щ являются операторами
трансляции на часть периода решетки для существенных винтовых осей и
плоскостей скольжения и совпадают с единичным элементом Е для обычных
вращений и отражений. В простых пространственных группах все а,-
совпадают с ? и "поворотные" элементы совпадают с элементами точечной
груш\ы R.
С помощью подгруппы трансляций можно образовать так называемую фактор-
группу G/Т пространственной группы G по подгруппе трансляций Т. Фактор-
группа представляет группу, единичным "элементом" которой является'сама
подгруппа трансляций, а остальные "элементы" образуются из произведения
подгруппы трансляций (со всеми ее элементами Тп) на вращательные элементы
а,-/?г пространственной группы. Таким образом, фактор-группа G/Т
образована из элементов
Т, Ta.2R2......TatRi.
Весьма существенно, что фактор-группа G/Т изоморфна точечной группе R
кристалла, т. е. между элементами этих групп имеется взаимно однозначное
соответствие. Вследствие изоморфизма любое
§ 5] ОБЩИЕ СВОЙСТВА СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИИ КРИСТАЛЛА 27
представление группы R является также представлением факторгруппы G/T.
Функции при й = 0 не изменяются под действием опера-
торов трансляции. Действия "поворотных" элементов аявляющихся операциями
симметрии пространственной группы кристалла, на функции будут
преобразовывать их в линейные комбинации
функций относящихся к той же энергии кристалла
а^-фор = 2 ^/'/(0Фор, 1=1, 2, I.
г
Коэффициенты этих преобразований Л/7 (t) образуют матрицы, которые будут
неприводимыми представлениями фактор-группы G/Т. Размерность этих
представлений определяет кратность вырождения соответствующих
энергетических состояний кристалла. Таким образом, функции стационарных
