Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
состояний кристалла можно классифицировать с помощью неприводимых
представлений фактор-группы G/Т, или с помощью изоморфной с ней точечной
группы симметрии кристалла R, характеризующей симметрию направлений.
Неприводимые представления, к которым относятся функции фор,
характеризуют их свойства симметрии и определяют правила отбора между
стационариыми состояниями кристалла под влиянием внешних возбуждений.
Существенно, что волновые функции фор, относящиеся к разным неприводимым
представлениям, ортогональны между собой.
В процессах поглощения и испускания длинноволнового (по сравнению с
постоянной решетки) света наибольшую роль играют только состояния с
малыми векторами k. Следовательно, для этих процессов самой важной частью
первой зоны Бриллюэна является ее центральная область k^O.
В ряде явлений приходится рассматривать и состояния скфО. Симметрия
направлений в кристалле позволяет провести классификацию стационарных
состояний и в этом случае. Рассмотрим кристаллы с простыми
пространственными группами. В таких кристаллах точечная группа симметрии
является подгруппой пространственной группы и все ее элементы симметрии
оставляют оператор энергии кристалла неизменным.
Каждый волновой вектор k в первой зоне Бриллюэна, при действии на него
всех элементов симметрии точечной группы кристалла, преобразуется в
некоторое число волновых векторов, которые вместе с исходным образуют
звезду k-представления. Если конец вектора k не попадает в особые точки
зоны Бриллюэна (оси симметрии, плоскости симметрии и граница зоны), то
число векторов звезды равно числу элементов группы точечной симметрии.
Така^я звезда называется невырожденной. Если конец
28
СИММЕТРИЯ И СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ КРИСТАЛЛОВ [ГЛ. 1
вектора попадает в особую точку зоны, то два или большее число векторов
звезды совпадают. В этом случае звезда называется вырожденной. В
частности, центру зоны Бриллюэна во всех кристаллах соответствует
вырожденная звезда с одним значением к, равным нулю. Особая точка зоны,
соответствующая ее центру, обычно обозначается буквой Г.
Для иллюстрации особых точек зоны Бриллюэна рассмотрим квадратную
двумерную решетку. Ее зона Бриллюэна представляет собой квадрат,
изображенный на рис. 8. Точечная группа симметрии этой зоны имеет восемь
элементов симметрии: Е (тождествен-
ный); С4, C'i, Cl - оси симметрии четвертого порядка (с поворотами
на 90, 180 и 270°) и четыре плоскости зеркальной симметрии ах, ау, od,
ad'. Первые две, соответственно, перпендикулярны осям kx и ky, а две
другие проходят через диагонали квадрата.
Четыре волновых вектора, соответствующих вершинам квадрата, эквивалентны,
так как разделены
тблько векторами обратной решетки. Поэтому точке М, как и центру зоны Г,
соответствует вырожденная звезда, состоящая- из одного вектора. Точке X,
лежащей на оси симметрии на границе зоны, соответствует вырожденная
звезда, состоящая из двух векторов. Точкам А и 2, лежащим на осях
симметрии, но не совпадающим с X и М, и точкам Z,
лежащим на границе зоны и не совпадающим с X и Л1, соответ-
ствуют вырожденные звезды, состоящие из четырех векторов. Любым другим не
особым точкам этой зоны, лежащим внутри нее, соответствуют невырожденные
звезды, состоящие из восьми векторов.
Если волновой вектор k относится к невырожденной звезде, то число
векторов в звезде равно числу I элементов симметрии в точечной группе
кристалла. Энергии состояний для всех векторов звезды, при фиксированном
а, одинаковы
Еа (ki) = Еа (ki) = ... = Еа (ki). (5.3)
Им соответствуют функции
преобразующиеся друг через друга под действием операций симметрии
точечной группы. Все они относятся к одному неприво-
Рис. 8. Особые точки зоны Бриллюэна квадратной двумерной решетки.
§ 5] ОБЩИЕ СВОЙСТВА СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ КРИСТАЛЛА 29
димому представлению этой группы. В этом случае размерность представления
пространственной группы в / раз больше размерности соответствующего
представления точечной группы.
Если вектор кг принадлежит вырожденной звезде с т векторами fti, k2, ...,
km, то все элементы симметрии точечной группы можно разбить на два типа:
1) элементы симметрии, не изменяющие fti (все повороты вокруг и
зеркальные отражения, содержащие ki); 2) элементы симметрии, переводящие
один вектор звезды в другой. Элементы симметрии первого типа образуют
подгруппу полной точечной группы кристалла. Ее называют малой точечной
группой, или группой волнового вектора. В этом случае волновые функции,
относящиеся к одинаковым энергиям, можно классифицировать по неприводимым
представлениям (А, В, ...) группы волнового вектора kx. Каждому такому
представлению будет соответствовать одна энергия и т функций,
различающихся векторами kt, входящими в звезду:
^ энергия ЕМ\
•••> энергия Ев (hi);
где индекс i нумерует функции, относящиеся к каждому неприводимому
представлению (А, В, ...) точечной группы волнового вектора.
Например, векторам к, определяющим точки А зоны Бриллюэна рис. 8,
