Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
определяется выражением
J - - х grad Т. (9.11)
Коэффициент х называют теплопроводностью, а обратную величину 1/х -
теплосопротивлением.
Если взаимодействие между фононами отсутствует или осуществляется без
процессов переброса, т. е. при выполнении закона сохранения импульса в
каждом акте взаимодействия, то суммарный импульс всех фононов
сохраняется. В этом случае фононы будут переносить энергию (в кристаллах
бесконечных размеров) даже без градиента температур (отсутствует тепло-
сопротивление). Наличие теплосопротивления указывает, что в процессе
взаимодействия фононов нарушается закон сохранения импульса, т. е.
осуществляются процессы переброса. Однако процессы переброса возможны
только(при взаимодействии фононов с энергией^й, превышающей некоторую
критическую энергию Е0. При низких температурах среднее число таких
фононов пропорционально exp ( - E0/kT). Следовательно, при низких
температурах теплосопротивление пропорционально ехр(-т- E0/kT), а
теплопроводность ~ехр (E0/kT).
Такая температурная зависимость была обнаружена в опытах Бермана и др.
[7] для кристаллов алмаза (Е0^ 0/2,6), твердого гелия (Е00/2,3) *).
*) 9 - дебаевская температура кристалла в энергетических единицах (см. §
10).
ФОНОННАЯ ТЕПЛОЕМКОСТЬ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
5а
§ 10. Фононная теплоемкость твердых тел
В кристалле в каждом квантовом состоянии ks может быть-возбуждено любое
число v*s фононов. Следовательно, фононы образуют "газ" квазичастиц,
подчиняющихся статистике Бозе. Из-за взаимодействия между фононами,
обусловленного ангармоническими эффектами, число фононов в кристалле не
сохраняется, и они перераспределяются по разным состояниям так, что
наступает тепловое равновесие, если кристалл находится при определенной
температуре.
Для вычисления средних энергий фононов при термодинамическом равновесии
напомним некоторые положения статистической физики. Состояние системы,
находящейся в термодинамическом равновесии, описывается не волновой
функцией, а статистическим оператором, или матрицей плотности [5].
Матрица плотности для системы, находящейся при постоянной температуре и
давлении, определяется выражением
где (c) - температура в энергетической шкале (абсолютная температура,
умноженная на постоянную Больцмана); N - оператор числа частиц; Я -
оператор Гамильтона системы; ц, -химический потенциал, отнесенный к одной
частице; Ф - термодинамический потенциал в переменных ц, и 0.
Матрица плотности (10.1) описывает системы, которые могут обмениваться
энергией и частицами с окружающим термостатом, т. е. системы, находящиеся
при постоянной температуре и давлении Р (большой канонический ансамбль).'
Термодинамический потенциал Ф определяется из условия нормировки матрицы
плотности
В (10.2) суммирование выполняется по полному набору состояний | s)
системы и зависит от энергии и числа частиц в системе. Химический
потенциал системы определяется условием
l=Spp = 2<sIPls>
(10.2)
S
и равен
(10.3)
(10.4)
где N - общее число частиц в системе. ,
С помощью матрицы плотности (10.1) можно вычислить среднее значение любой
физической величины А, если известен ее-
54 ФОНОНЫ В КОВАЛЕНТНЫХ И МОЛЕКУЛЯРНЫХ КРИСТАЛЛАХ [ГЛ. II
оператор А, так как
A = Sp{pAj. (10.5)
В частности, среднее число частиц в системе определяется равенством
iV = Sp{piV}. (10.6)
Если число частиц в системе сохраняется, то условие (10.6) определяет
в неявном виде химический потенциал системы
в переменных N и (c). Если число частиц в системе не
сохра-
няется, то равновесное состояние системы определяется условием минимума
термодинамического потенциала по отношению к изменению числа частиц
Иа")в., = °- (10'7)
Таким образом, в равновесном состоянии систем с переменным числом частиц
(например, в системе фононов) химический потенциал равен нулю. В этом
случае свободная энергия F системы совпадает с термодинамическим
потенциалом Ф, так как в общем случае
F = $> + ixN. (10.8)
Следовательно, при (д. = 0 из (10.3) и (10.8) следует
F = - в In Sp{exp (10.9)
Зная свободную энергию (10.9), можно вычислить среднее значение энергии
Предположим, что состояния частиц в системе характеризуются квантовыми
числами s и операторы энергии Н и числа частиц N представляются
выражениями
H = J]HS, N = J]NS.
s s
В этом случае термодинамический потенциал (10.3) можно записать в виде
Ф = 2ф5, Ф$ = - в InSp {еХр^=^-}. (10.11)
S
В представлении чисел заполнения состояний s для частиц Бозе волновые
функции | v5> являются собственными функциями операторов Hs и Ns, т. е.
Hs\vs) = Es\vs), Ns\vs) = vs\vs).
ФОНОННАЯ ТЕПЛОЕМКОСТЬ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
55
Поэтому
Подставив это значение в (10.11), находим термодинамический потенциал
состояния s:
Применим полученные соотношения к фононам в кристалле. Их состояния
характеризуются волновым вектором k и указанием ветви колебаний а. При
этом, если отсчитывать энергию от энергии основного состояния Е0,
операторы энергии и числа фононов будут
где w - оператор ангармонических* поправок. Этот оператор вносит малый
