Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
атомы движутся в противо-фазе. Значения I, меньшие 2а, не имеют смысла в
дискретной структуре решетки. Поэтому для векторов ft' = ft-bg\ лежащих
вне первой зоны Бриллюэна, соотношение (4.12) использовать нельзя.
Приведенный волновой вектор к характеризует собственные значения
оператора трансляции Тп на вектор решетки. Интересно сравнить его с
вектором к, определяющим собственные значе-
СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРА ТРАНСЛЯЦИИ
23
ния оператора трансляции в свободном пространстве. В отличие от кристалла
свободное пространство инвариантно относительно смещения 1 на
произвольный вектор а, в частности, и
на бесконечно малый вектор 6а. Оператор бесконечно малого
смещения Т(,а выражается через оператор импульса. Действительно,
Т6аЦ(г)=(1 -6aVmr) = [l!>(/*)• '
Оператор смещения на конечный вектор " = образуется
i
путем последовательного применения бесконечно малых смещений Та- Jim
ГТ Тба. = ехр(-iap/ti) (4.13)
e"r° t
В состояниях (г) с определенным значением импульса р выполняется
равенство
ТаУрр (г) = exp (- iak) p = hk. (4.14)
Следовательно, собственное значение оператора трансляции в свободном
пространстве определяется волновым вектором к, который связан с
импульсом.
По аналогии и приведенному волновому вектору k в кристалле сопоставляют
вектор
p = hk, ' (4.15)
который называют квазиимпульсом. Он отличается от обычного импульса рядом
свойств.
1) Квазиимпульслринимает дискретные значения в кристалле конечных
размеров, и ему нельзя сопоставить дифференциальный оператор импульса; 2)
вследствие эквивалентности векторов k и k' - k + g в кристалле
квазиимпульс определяется с точностью до преобразования
p'=p + tig, (4.16)
где произвольный вектор обратной решетки; 3) закон сохранения
квазиимпульса в кристалле записывается в виде
aHL ** (4-17)
Величину fig в (4.16) иногда рассматривают как импульс, переданный всей
решетке.
В ряде явлений, происходящих в кристалле, участвуют состояния с
квазиимпульсами \pi\<€^h\g\. В этих явлениях в (4.16) остается только
возможность Ар = 0; 4) в свободном пространстве равенство X--2nh/\p\
справедливо для любых сколь угодно больших значений р. В кристалле это
равенство имеет смысл только для К>2а.
24
СИММЕТРИЯ И СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ КРИСТАЛЛОВ [ГЛ. I
§ 5. Общие свойства стационарных состояний кристалла, базирующиеся на его
симметрии
Стационарные состояния кристалла имеют определенную энергию и описываются
собственными функциями оператора Гамильтона Н. Вследствие трансляционной
симметрии оператор Я коммутирует с оператор'ом трансляции Т", т. е.
[Н, 7"] = 0. (5.1)
Таким, образом, собственные функции оператора Н должны быть одновременно
собственными функциями оператора трансляции. Следовательно, эти функции
классифицируются по неприводимым представлениям группы трансляций, т. е.
зависят от приведенного волнового вектора к и удовлетворяют уравнениям
T"o|)^ = exp(-ift/*)^a, Ща = Еа(Ь)Ца, (5.2)
где буквой а отмечаются все остальные квантовые числа, от которых может
зависеть энергия стационарного состояния. Верхний индекс / функции
нумерует состояния, относящиеся к одинаковой энергии Ea(k) (при наличии
вырождения).
Состояния с определенным значением k пространственнооднородны. Любое
пространственно-неоднородное состояние в идеальном кристалле описывается
суперпозицией состояний с различными k и, следовательно, не является
стационарным.
При фиксированном а .энергия Ea(k) принимает N квази-непрерывных
значений, совокупность которых называют энергетической полосой или
энергетической зоной. При стремлении N к бесконечности функция Еа (k)
принимает непрерывные значения. Совокупность энергетических зон Еа(к) для
разных значений а называют зонной структурой кристалла. Следствием
эквивалентности векторов k и k-\-g, отличающихся друг от друга на вектор
обратной решетки (3.1), является равенство
Еа (k) = Ea (k + g).
Используя это равенство, можно продолжить функцию Ea(k), определенную для
значений k, лежащих в первой зоне Бриллюэна, на все ft-пространство..
Образованная таким образом функция Еа(к) будет периодической с периодами,
совпадающими с векторами &,• (/ = 1, 2, 3) основных трансляций в обратной
решетке.
Квантовые числа а в (5.2) определяются симметрией кристалла. Совокупность
элементов симметрии, переводящих каждое направление в кристалле в ему
эквивалентное, образует группу направлений, которую называют точечной
группой кристалла.
§ 5] ОБЩИЕ СВОЙСТВА СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ КРИСТАЛЛА 25
Она, вообще говоря, отличается от точечной группы пространственной
решетки (решетка Браве), симметрия которой, как правило, выше симметрии
точечной группы кристалла. Другими словами, всякий элемент симметрии
точечной группы кристалла обязательно содержится в точечной группе
пространственной решетки того же кристалла. Однако обратное может не
иметь места.
Существует 32 точечные группы, соответственно которым кристаллы
подразделяются на 32 кристаллических класса (см. табл. 1). Эти классы
