Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
соответствует звезда, состоящая из четырех векторов. Группа этих
векторов, или группа точек А зоны, содержит два элемента симметрии Е, ау
и имеет 'два неприводимых одномерных представления, указанных в табл. 2.
Одно из них полностью симметрично, другое - изменяет знак при операции
ау. В этом случае одной энергии соответствует только четыре функции
одного из этих представлений, например,
^*2^2' ^АзЛз" ^?^4*
Аналогичное положение имеет место и для точек ? и Z, неприводимые
представления которых указаны в табл. 2.
Точкам X соответствует вырожденная звезда, состоящая, из двух волновых
векторов. Группа этих Ьолновых векторов (группа точки X) содержит четыре
элемента симметрии и четыре одномерных неприводимых представления (табл.
2). Поэтому одной энергии будет соответствовать по две функции,
относящиеся к одному из четырех представлений группы точек X.
Точке Г соответствует вырожденная звезда с одним вектором k = 0. В этом
случае группа волнового вектора совпадает с полной точечной группой
кристалла. Классификация состояний
30
СИММЕТРИЯ И СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ КРИСТАЛЛОВ [ГЛ. I
Таблица 2
Неприводимые представления особых точек зоны Бриллюэна квадратной
решетки, показанной на рис. 8
д Е °У
Ai 1 1
д. . 1 -1
Si
2,
Z Е °л:
2, 1 1
1 -1
X ? С-> 4¦ °л: °У
Г 1 1 1
Х" 1 1 . -1 - 1
Х3 1 -1 1 -1
х4 1 -1 -1 1
Г м Е С4. С,. СЗ 4 4 °У ах V °d
Гх м, 1 1 1 1 1
¦г. м., 1 1 1 -1 -1
г, 1 1 -1 1 -1
М, 1 1 -1 -1 1
Г" МЛ 2 -2 0 0 0
производится по неприводимым представлениям этой группы. В частности, для
квадратной решетки (см. рис. 8) имеется пять неприводимых представлений
группы точки Г. Одно из них двумерно. Аналогичная ситуация имеет место
для точки М.
Итак, неприводимые представления пространственной группы характеризуются:
1) совокупностью волновых векторов, образующих звезду; 2) неприводимыми
представлениями группы волновогб вектора, которые обычно называются
малыми представлениями. Порядок представления группы равен произведению
числа векторов в звезде на порядок неприводимого представления группы
волнового вектора.
На границах зоны Бриллюэна энергия стационарных состояний как функция
волнового вектора обладает важным свойством: значения Еа (к) с обеих
сторон границы зоны Бриллюэна одинаковы. Другими словами, функция Еа (к)
проходит через максимум или минимум, когда она пересекает границу зоны,
В кристаллах, пространственные группы которых содержат существенные
винтовые оси или плоскости скольжения (или то и другое вместе), некоторым
точкам, или линиям (иногда и граням), на поверхности зоны Бриллюэна
соответствуют только двумерные неприводимые представления. В этих местах
поверхности зоны должно наблюдаться слияние полос, т. е. энергии Ea(k),
соответствующие разным функциям i|)*a при векторах k, попадающих в такие
особые места зоны, становятся равными. Например, в двумерной структуре,
изображенной на рис. 9, а, имеется плоскость скольжения, перпендикулярная
оси у. Наличие
§ 51 , ОБЩИЕ СВОЙСТВА СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ КРИСТАЛЛА 31
этой плоскости скольжения приводит к слиянию полос на всей стороне kx =
n/а зоны Бриллюэна, изображенной на рис. 9,6.
Доказательство этого утверждения базируется на симметрии оператора
Гамильтона кристалла по отношению к инверсии времени. Инверсией (или
обращением) времени называется преобразование знака времени, т.-е. замена
t на - t. Оператор Гамильтона кристалла, не находящегося во внешнем
магнитном поле, инвариантен не только по отношению к преобразованиям
пространственной группы, но и по отношению к инверсии времени.
i*9
а
а) 6)
Рис. 9. Двумерная структура с плоскостью скольжения, перпендикулярной оси
у, (а) и зона Бриллюэна (б).
При инверсии времени волновой вектор k переходит в вектор - k. Поэтому
следствием инвариантности оператора Гамильтона относительно инверсии
времени будет равенство энергий возбуждений, не зависящих от спина
Ea(k) = Ea(-k). (5.5)
Другими словами, энергетическая зона таких возбуждений в /г-про-странстве
обязательно обладает центром инверсии. Равенство (5.5) должно выполняться
и в кристаллах, пространственная группа симметрии которых не содержит
элемента пространственной инверсии.
Если возбуждение зависит от спина, например одноэлектронные возбуждения в
кристалле, то при инверсии времени происходит преобразование к в - k при
одновременном переворачивании спина электрона. В этом случае вместо (5.5)
должно выполняться равенство
fat (*) = ?al (-*), (5-6)
где стрел_кой около индекса а указано символически спиновое состояние.
В оптически активных кристаллах (т. е. вращающих плоскость поляризации
света) частоты со/- (k) и to/- (k) поперечных электро-
32 СИММЕТРИЯ И СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ КРИСТАЛЛОВ [ГЛ. I
магнитных волн, распространяющихся вдоль оптической оси кристалла и
поляризованных по правому и левому кругу, связаны соотношением
а±(/г) = м±(_ к),
так как при операции обращения времени знак круговой поляризации
меняется. Для продольных волн естественно выполняется условие со" (ft) =
