Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Давыдов А.С. -> "Теория твердого тела" -> 20

Теория твердого тела - Давыдов А.С.

Давыдов А.С. Теория твердого тела — М.: Мир, 1979. — 646 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyatverdogotela1979.pdf
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 233 >> Следующая

|DaP(*)-Q*(*) 6^1 = 0.
ФОНОНЫ В КРИСТАЛЛЕ С ДВУМЯ АТОМАМИ В ЯЧЕЙКЕ
43
Используя явные выражения (7.8) для Dap(ft), находим для каждого значения
ft два решения
Я;
mjm.2
siir
, ka
]•
(7.11)
где s = 1, 2; (x = /nim2/(mi + m2) - приведенная масса двух атомов.
Две функции Qs (ft) определяют частоту двух ветвей колебаний. При
значениях fta<! 1 эти функции имеют вид
Q
sin
ka
2

ka
~2~
У
4v
Sin'
ка
2
т1 + тг
¦Н/1-
(7.12)
Функция Qx(ft) (7.12) совпадает с функцией, характеризующей частоты
акустических волн в одномерной решетке с одним атомом в элементарной
ячейке, если его масса равна сумме масс т\ и т2. Поэтому Qi (ft) называют
акустической ветвью. Функция Q2 (ft) характеризует колебания, частоты
которых не стремятся к нулю при приближении ft к центру зоны Брил-люэна.
Они определяют оптическую ветвь колебаний.
Если т!^т2, то при приближении ft к границе зоны Бриллюэна (п/a) функции
(7.12) достигают предельных значений
Q
Q
/ л
\ а
= 21/ Т-.
V щ
(7.13)
Рис. 12. Дисперсия акустической и оптической ветвей колебаний.
Характер общей зависимости Qs от ka изображен на рис. 12.
Используя (7.9) и подставив частоты в уравнение (7.10), получим уравнение
(ft) &0LS (ft)
.2Daf"(ft)ePl (ft) = 0, p
(7.14)
определяющее функции eas. Решения, соответствующие разным s, ортогональны
между собой. Поскольку они определены уравнением (7.14) только с
точностью до постоянной, то их можно нормировать условием
^ieas{k)e^{k) = bs,i'. 7 (7.15)
44 ФОНОНЫ В КОВАЛЕНТНЫХ И МОЛЕКУЛЯРНЫХ ¦ КРИСТАЛЛАХ [ГЛ. II
Подставив значения (7.8) в (7.14), -находим при Ла<^1 отношение
= _------ *2---------(7.16)
У - Qf (ft) j
Отношение амплитуд смещений атомов согласно (7.4) определяется равенством

/Sl.lV С15 W _
\ ?я2 }s е2s
Таким образом, в акустической ветви колебаний (J^i/l^Jac^ 1" т. е. атомы
в одной элементарной ячейке колеблются в одинаковом направлении, в
оптической ветви они совершают колебания в противоположных направлениях с
амплитудами, обратно пропорциональными их массам, так как (^"1^2)0 = -
т^т-у. В ионных кристаллах в элементарную ячейку входят ионы с
противоположными зарядами. Поэтому оптические колебания связаны с -
большим изменением электрического дипольного момента ячейки. Они
определяют оптическое поведение кристалла в этой области частот.
Последнее обстоятельство и оправдывает название этой ветви колебаний.
В соответствии с двумя решениями (7.14) кинетическую и потенциальную
энергии можно записать в виде
К ----- 2 (Л) €(ХS' (Л) AfrsA-fy, s'*
fc, a, s, s'
V =y ^ Da$ (k) eas (k) e$s- (k) s".
1
k, a, s, s'
С учетом (7.15) и (7.14) эти выражения преобразуются к виду
k=y ?/=т2й?(Л)Л*5Л-'-5- (7Л7)
к, s k, s
Обобщенной координате Aks соответствует обобщенный импульс
p"s=-^- = A-.k'S.
Mks
Следовательно, классическая функция Гамильтона
?=t2[P'sP-*- s + Ql(k)AtsA-t, ,]. (7.18)
к, s
Переход к квантовому оператору Гамильтона осуществляется заменой
сопряженных обобщенных координат и импульсов
ФОНОНЫ В ТРЕХМЕРНОМ КРИСТАЛЛЕ
45
операторами
= + *)• (7Л9)
P*s -+P*s=i VfiQs(k)l2 (bts> - Ь-л, ,),
где операторы обобщенных координат и импульсов удовлетво-
ряют перестановочному соотношению [^*s, Pjv] = t^6**'6ss'. если операторы
рождения bts и уничтожения bhs фононов удовлетворяют перестановочным
соотношениям
[bus, bA's'] = 6*A'6ss', [bhs, bb's'] - 0. (7.20)
Проведя преобразование (7.19) в функции Гамильтона (7.18) и в выражении
(7.4), находим оператор Гамильтона
H = ZihQs(k){bisblls+1k} (7.21)
S, k
и оператор смещения атомов из равновесных положений
= Т/"- У ехР <7-22>
Г 2Nma >*-J У Qs (ft)
§ 8. Фононы в трехмерном кристалле
Для простоты рассмотрим вначале моноатомные кристаллы. Пусть т - масса
атомов и г "а, ("=1, 2, 3) -три компоненты смещения атома из узла ячейки,
определяемой вектором решетки п. Тогда кинетическая энергия смещений
атомов из положений равновесия выразится через скорости гпа смещений
формулой
"=1,2,3. (8.1)
п, а,
В трехмерном кристалле число соседей у каждого атома растет
пропорционально квадрату расстояния. Поэтому обычно нельзя ограничиться
учетом взаимодействия только между ближайшими соседями. В соответствии с
этим запишем потенциальную энергию кристалла в гармоническом приближении
в виде
U = Y 2 ^о.ь{п-т)гпагт^ (8.2)
* па, mf)
где компоненты тензора второго ранга FaP удовлетворяют условиям
Увр(л-1я) = Крв(я*-л), '?iVab(n-m) = 0. (8.3)
16 ФОНОНЫ В КОВАЛЕНТНЫХ И МОЛЕКУЛЯРНЫХ КРИСТАЛЛАХ [ГЛ. II
Последнее равенство следует из того, что равна нулю суммарная сила,
действующая на отдельный атом со стороны всех остальных, если она
обусловлена переносом всего кристалла как целого. В самом деле, Fmfi = -
- - У Уар (п - т) гпа. При
*"/пв
п, а
смещении кристалла как целого
?п<х - Va, Fmp = ^аЗ (Л W) Va,
• л, a
Поскольку va произвольны, то мы должны отдельно приравнять нулю
коэффициенты при каждом va.
Используя циклические граничные условия и предположив, что в основной
области кристалла имеется N элементарных ячеек, проведем в (8.1) и (8.2)
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 233 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed