Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
кристалла; раман-эффект связан с фононами, соответствующими поперечным
колебаниям атомов, изменяющим поляризуемость кристалла; рассеяние
нейтронов связано с продольными фононами, которые вызывают локальные
изменения плотности кристалла.
§ 9. Взаимодействия между фононами
В предыдущих параграфах рассматривались элементарные возбуждения
кристалла - фононы, соответствующие колебаниям атомов, потенциальная
энергия которых (8.2) содержала только члены, квадратичные по смещениям
атомов из равновесных положений. В этом приближении, которое называется
гармоническим, оператор Гамильтона кристалла имеет вид
H='?hQs(k)(btsbk 5+1/2), (9.1)
k, S
где bisbbs - оператор числа фононов s-й ветви с волновым вектором k в
состоянии |v*s).
50 ФОНОНЫ В КОВАЛЕНТНЫХ И МОЛЕКУЛЯРНЫХ КРИСТАЛЛАХ [ГЛ.
11
Оператор числа фононов bisbbs коммутирует с оператором Гамильтона (9.1),
поэтому числа фононов в каждом состоянии являются интегралами движения.
Следовательно, в гармоническом приближении фононы независимы и не
взаимодействуют между собой.
Такая простая картина нарушается при учете в разложении потенциальной
энергии кристалла по степеням смещений атомов
из 'положений равновесия членов кубических и более высокой
степени, т. е. если мы добавим к (8.2) слагаемые
W = 1-п)гпагтрГ1У+ ... (9.2)
Слагаемые (9.2) называются ангармоническими поправками.
Если в (9.2) в соответствии с (8.18) заменить смещения гпа операторами
!-г- '•гч e<s) (h)
=У ад Z ехР <ikn)• <9-3>
где
= + (9-4)
то получим оператор ангармонического возмущения
№ = 2 (9-5)
где
Vss-t(q, k, k') =
= kYl)eV(-q)ef{k)e^{k')^mkn^-h'l)l
(9.6)
? = ?+* + *'• (9-7)
Вектор g либо равен нулю, либо такому вектору обратной
решетки, при котором волновой вектор q остается в первой зоне Бриллюэна.
Слагаемые в (9.5), соответствующие значениям q при ^0 в (9.7),
ответственны за процессы, которые получили название "процессов
переброса".
Имеется только четыре типа матричных элементов оператора
(9.5) на функциях от чисел заполнения. Это матричные элементы
VsMqkk') VVq/V*sv*v X
X <v-qt t 1 " Vfts ^ , "Vft's' 1 | Ь-qt fbksbk's' | ^-q, tVks^k's') t.
(9.8)
Vss't{q, k, Л')У(v^+l)VnvX
X(v-qt t 1 > ^ks- 1, Vk's' ~~ 1 1 b - qjbksbk's'j 'VqtVks'Vk's' ) (9.9)
и им эрмитово сопряженные.
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МЕЖДУ ФОНОНАМИ
51
Матричные элементы (9.8) соответствуют процессам исчезновения трех
фононов. Матричные элементы, эрмитово сопряженные (9.8), соответствуют
процессам рождения трех фононов. Все эти процессы запрещены законом
сохранения энергии.
Матричные элементы (9.9) описывают процессы слияния двух фононов в один.
Такие процессы можно изобразить графиком
qs"
KS
qs"
-н'3'
а) б)
Рис. 13. Слияние двух фононов и распад одного фонона на два других.
рис. 13, а. Матричные элементы, эрмитово сопряженные к (9.9), описывают
процессы распада одного фонона на два других. Они изображаются графиком
рис. 13, б. Процессы слияния и распада, обусловленные матричными
элементами (9.9), могут происходить только при выполнении закона
сохранения энергии
Q, (?) = Qs(k) + Qs. (к').
(9.10)
Если при этом q = k-{-kr, то выполняется и закон сохранения
квазиимпульсов фононов. Если же осуществляется процесс переброса, т. е.
q = к + к' + g,
где g- вектор обратной решетки, то квазиимпульс не сохраняется.
Таким же образом можно показать, что учет в потенциальной энергии (9.2)
членов четвертого порядка по смещениям атомов приводит к четырехфононным
процессам, в которых два фонона рассеиваются друг на друге, или один
фонон распадается на три других, или три фонона сливаются в один.
Рис. 14 иллюстрирует явление слияния двух фононов ftiS и k2s в один фонон
qs' при нарушении закона сохранения квазиимпульса (процесс переброса).
Частоты ?2S (k) и ?2S' (к) изображены сплошными линиями. Пунктиром
изображена кривая (ft), перенесенная в точку А, соответствующую значению
волнового вектора кг. Точка В пересечения пунктирной кривой с кривой Qs-
определяет значение ft2 и частот ?2^ (ft2), QS' (q), для которых
Рис. 14. Иллюстрация процесса переброса при слиянии двух фононов.
52 ФОНОНЫ В КОВАЛЕНТНЫХ И МОЛЕКУЛЯРНЫХ КРИСТАЛЛАХ [ГЛ.
II
выполняется закон сохранения энергии
^s' (Я) = (ki) -f- (Лг)>
при этом Q = k1 + k2 - ^ а, где ^ а - вектор обратной решетки.
2д
Легко убедиться, что при #i + *2<~2 а процессы переброса
невозможны и слияние двух фононов в с^дин происходит при выполнении
закона сохранения квазиимпульса.
Операторы ангармонического возмущения обусловливают тепловое расширение
кристаллов и установление термодинамического равновесия среди фононов.,
Они ответственны за появление конечной теплопроводности твердых тел. Как
впервые показал Р. Пайерлс [6], конечная теплопроводность непроводящих
кристаллов обусловлена процессами переброса.
При тепловом возбуждении кристалла в нем рождаются фононы. Они
распространяются в кристалле со скоростью звука и переносят тепловую
энергию. Поток тепла J направлен в область меньших температур Т и
