Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Потому уже при / = 2а вклад в сумму (6.32) составляет 0,016 части вклада
от первого слагаемого.
Исследуем, как изменяются полученные выше результаты, если циклические
граничные условия (6.4) заменить условием жесткого закрепления краевых
атомов. Чтобы не изменить число степеней свободы кристалла, предположим,
что он содержит N + 2 атомов, положение которых определяется вектором
решетки
п = па, п = 0, 1, ..., N + 1. (6.33)
Граничные условия, кинетическую и потенциальную энергии запишем в виде
?о = |(ЛГ+ \)а = о, (6.34)
к=т-2^* ^=т2(^_|я-а)2=72(|"~^я-а)- (6-35)
п п п
От переменных переходим к обобщенным координатам Л* с помощью
канонического преобразования
^ = ]/~т4=т2Л'51п(/л)>. (6-36>
t
где вектор I имеет следующие N значений:
>* = I...N- (6-37)
Матричные элементы sin (In) матрицы преобразования (6J36) удовлетворяют
условию унитарности
-^-|:T-2sin(^)sin(,tn = Sw.. (6.38)
ft
Используя (6.38), можно получить преобразование, обратное (6.36): At =
VW-FT^n sin (nl). (6.39)
40 ФОНОНЫ В КОВАЛЕНТНЫХ И МОЛЕКУЛЯРНЫХ КРИСТАЛЛАХ [ГЛ. II
В результате преобразования (6.36) кинетическая и потенциальная энергии в
новых переменных принимают вид
К = ±пк?А], ?/=42й2(/М'* (6-4°)
где
Q"(/) = 4Uin""(-. (6.41)
Если в (6.41) подставить явное выражение (6.37), то Q"(,*) = .?sin" А,
|*=1, 2
Эти частоты двукратно вырождены, так как Q2 (ц) = Q2 (N + 1 - ^)-
Сравнивая (6.41) с (6.10), мы убедимся, что они совпадают при
ЛГ>1-
Обобщенной координате At соответствует обобщенный импульс Pt = dKldAt =
mAi. Следовательно, классическая функция Гамильтона равна 4
(6-42>
I
Переход к квантовому оператору Гамильтона осуществляется преобразованием
А, -> At = Y(bt + Ь')*
_________ ' (6-43)
Pl^Pl = -iyr±hmQ(l)(bl^bt),
в которое входят операторы рождения bj и уничтожения bt фононов /-типа.
После замены (6.43) в (6.36) и (6.42) находим оператор смещения атомов из
положений равновесия
(М4)
и оператор энергии
Я = (/)[*>#, +V*]. (6.45)
i
-Состоянию с V/ фононами соответствует волновая функция | vj) и энергия
E = E0 + v,hQ(l), Е0 = {%П&(1).
§ 7) ФОНОНЫ В КРИСТАЛЛЕ С ДВУМЯ АТОМАМИ В ЯЧЕЙКЕ 41
В этом состоянии квадрат смещения "-го атома из положения равновесия
I л" I 2п Г V, ' . " , , 1 VI sin2 (nl') 1
<v*l i"|vi)= т(дг+1)[1Щ sin + Q(i') •
- V ~
Возбужденные состояния | V/) представляют собой стоячие волны в
кристалле. При фиксированном (г (1, 2, ..., N), определяющем вектор /,
эти волны имеют 1 узлов.
Каждое из слагаемых (6.36), соответствующее определенному значению /, не
является собственной функцией оператора трансляции, а является
суперпозицией двух состояний с квазиимпульсами hi и -hi.
§ 7. Фононы в одномерном кристалле с двумя атомами в элементарной ячейке
Предположим, что в одномерной решетке в каждой элементарной ячейке
имеется два нейтральных атома с массами т1 и т2 (рис. 11). Положение
элементарных ячеек определяется вектором решетки п = па. Смещения атомов
из равновесных положений 0 и а/2 в элементарной ячейке с вектором п
обозначим
Рис. 11. Одномерная решетка с двумя атомами в элементарной ячейке.
буквами 1 и 1", 2¦ Кинетическая энергия отклонений атомов из равновесных
положений имеет простой вид
" = 1.2. (7.1)
я, сь
В гармоническом приближении при учете взаимодействия только соседних
атомов потенциальная энергия выражается квадратичной формулой
и = 1 2 [2 1 -&". 2>2 + 1 -Ь. • 2>2 + 2 - Ь. + а.
04, (7.2)
п
где у - коэффициент, характеризующий силы взаимодействия.
В качестве граничных условий принимаем равенства
?я, а = |я + ЛГв, а. а=1, 2, (7.3)
где iV - число элементарных ячеек в кристалле.
42 ФОНОНЫ В КОВАЛЕНТНЫХ И МОЛЕКУЛЯРНЫХ КРИСТАЛЛАХ [ГЛ. II
От смещений а удобно перейти к коллективным обобщенным координатам еа (к)
Ак с помощью соотношений
и. а = (maN)-4* 2 (*) Аы exp (ikn), (7.4)
*
где еа(к) = еа(-к) - вещественные постоянные функции, которые будут
определены ниже; Л -приведенный волновой вектор, принимающий N значений
(6.5) в первой зоне Бриллюэна. Из условия вещественности ?п> а следует,
что зависящие от времени обобщенные координаты должны удовлетворять
условиям
Л* = Л1*. (7.5)
Подставив (7.4) в (7.1) и (7.2), преобразуем их при учете (6.8) и (7.5) к
виду
К = ~ 2 еа (к) еа (к) AkA_k, (7.6)
k, а
и = -2 ^ D^{k)ea{k)e^{k) AkA-k, (7.7)
к, а, р
где
Du (к) = 4y/mlt D22 (к) = 4у/т2,
Du(*) = D5,(-*) = D|1(*) = -w^=(l + exp(i*e)) (7'8)
V тгщ
- матричные элементы силовой матрицы Daр (к).
Используя выражения (7.6) и (7.7), можно составить функцию Лагранжа
L = K - U- Тогда уравнения Лагранжа
d (dL, \ dL, * л.
Ж ( dj) ~ ~dq = °' q = еаЛк>
примут вид
Co. (k)An + 2 Aip (к) ер (к) Ah = 0.
Р
Эта система дифференциальных уравнений с помощью подстановки
Л* = -а2(Л)А* (7.9)
преобразуется в систему линейных однородных алгебраических уравнений
относительно неизвестных функций еа (k):
Q* (к) еа (к) - 2 Dap (k) ец (к) = 0. (7.10)
Р
Условие разрешимости системы уравнений (7.10) сводится к равенству нулю
определителя
