Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
низкой температуре. с - валентная зона, v - зона проводимости.
СОБСТВЕННОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ ФОТОНОВ
307
Если V -число фотонов частоты и в единице объема, а с/п(и) -их скорость в
кристалле, то коэффициент поглощения определяется выражением
= ' (42.33)
где
1 dv 1 VI
~ Vdt - v2*c#,; ft, kx
2 я
^ck^\ vk-----
(f\F\s)(s\H,\i)
2
8(E,-Ef) (42.34)
- вероятность фотоперехода электрона в единицу времени из состояния |
() электрона с волновым вектором k в валентной зоне в состояние if) с
волновым вектором ki в зоне проводимости. Входящие в (42.34) величины
имеют следующий смысл: (s|#ijt)- матричный элемент вертикального перехода
(Д? = 0) из начального состояния электрона j vk) в валентной зоне в
промежуточное состояние jdi) в зоне проводимости. Квадрат модуля этого
матричного элемента, усредненный по направлениям поляризации фотонов,
определяется выражением [173]
2л e-hv
где Рж - (vk \p\ck) - матричный элемент оператора импульса; (f\F\s) -
матричный элемент перехода электрона в зоне проводимости между
состояниями \ск) и jcfti) при поглощении фонона
с энергией ftQq и волновым вектором q = kx - k', ?,= лсо - -
энергия начального состояния (электрон в валентной зоне и
фотон); Es = Eg + 9-7*- - энергия промежуточного состояния \ck)
Zmc
Ь-k2
электрона в зоне проводимости; Ef - EgJr^~-irtlQq - энергия
конечного состояния - электрон в состоянии |c#i) и фонон.
Вычисление коэффициента поглощения (42.^3) проводилось в работе [173] для
двух случаев:
1) Для кристаллов с вырожденными валентными зонами (типа Ge, Si) при
неполярном взаимодействии электрона с продольными и поперечными ветвями
колебаний решетки использовалось приближение, при котором квадрат модуля
матричного элемента взаимодействия просто пропорционален среднему числу
фононов частоты Q,q, т. е. полагалось
|<Л?|5)|2 = р2[ехр^1, (42.36)
Р - коэффициент пропорциональности.
308
ОПТИЧЕСКОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
[ГЛ. VIII
2) В случае ионных кристаллов наиболее существенно электрон-фононное
взаимодействие с продольными оптическими ветвями колебаний (поляризация
кристалла), поэтому зависимость матричного элемента от волнового вектора
фонона существенна.
Предполагалось выполнение равенства
К/ !F I s> Г = У2я2 ехр-^--1] . q = kx-k. (42.37)
В первом случае, при подстановке (42.35) -и (42.36) в (42.33) в работе
[173] было получено для коэффициента поглощения, обусловленного непрямым
переходом электрона, следующее выражение (при Q? = Q):
х---------------f-JL-i'l (42.38)
exp(/iQ?/0)- 1 \|Лр2- 1 /
где
ф" [1 +(т;/и")]'(в"+*о-?8) + '¦ (42.39а)
nmh6 [1 -f . . v
Формула (42.38) справедлива и.для непрямых переходов дырок,-если в
(42.39) заменить отношение тЦт* отношением т*1т*. При малых значениях \Н
(со Q) - Eg] коэффициент поглощения пропорционален квадрату этой
величины, т. е.
х ~ [U (со + Q) - Eg]2 при | h (со -j- Q) - Eg j
В случае ионных кристаллов при вычислении (42.33) следует использовать
выражения (42.35) и (42.37), тогда согласно [173] имеем
х =
[ехр (йй/в) - 1] HQ где ф определено выражением (42.39а),
if = (mt - т*)1(пй + m2),
4"е2 <I Pvc 12)y2QVm*mc
<42-40>
в =
пт2сЛ3ы
Выражение (42.40) дает почти линейную зависимость х от [Й(ш + ?2) - Eg].
Вероятность непрямых переходов в германии из валентной зоны с экстремумом
при k = 0 в долину зоны проводимости с минимумом при kc = 2я/Я^ (Kd =
0,86 мкм) рассчитывалась в работе [174]. Вероятность переходов в одну
секунду при поглощении фотонов с длиной волны оказалась
СОБСТВЕННОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ ФОТОНОВ
309
пропорциональной 1
kc
т* + т*
W~
(/ко - ?г)] (/ко - Eg)2,
где Eg ^ 0,7 эв - энергетическая ширина запрещенной зоны (длина волны 1,8
мкм), Ха - длина волны прямого фотоперехода при k = 0 (энергия 1,45 эв).
На рис. 54 приведена (в произвольных единицах) зависимость от длины волны
коэффициентов поглощения фотонов в Ge при прямых и непрямых переходах,
рассчитанная в работе [174]. Экспериментальные исследования поглощения
фотонов при непрямых оптических переходах в германии исследовались в
работе [175].
Выяснению роли непрямых переходов с участием фононов в уширении полос
собственного поглощения в окрестности прямых переходов посвящены
многочисленные работы Тайо-завы и др. (см., например, [176-
179]).
Согласно (42.34) при непрямом межзонном фотопереходе с участием фононов
энергия поглощаемого фотона
отличается на энергию фонона tiQq от разности энергий конечного и
начального состояний электрона, равной
F _L_?'2 /*• *2 ^
s ' 2 \т* т%)' Я - k 1 k.
1,0 1,5 10 Л
Рис. 54. Коэффициент поглощениях, обусловленный прямыми (а) и непрямыми
(б) переходами в Ge.
(42.41)
С другой стороны, при поглощении фотона при непрямом переходе электрона с
участием примеси из-за большой массы последней она практически не
принимает на себя энергию. Поэтому энергия поглощаемого фотона равна
выражению (42.41). Естественно, что вероятность такого процесса
пропорциональна концентрации примеси. Непрямые межзонные переходы при
