Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
валентной зоной (Eg) возможно выполнение неравенства
Eg - \ie1/2s2h2 < 0. (43.10)
В этом случае диэлектрик окажется неустойчивым относительно образования
экситонов, т. е. экситоны должны присутствовать в основном состоянии
кристалла. На' это обстоятельство было обращено внимание в работах [214].
Для выяснения вопроса о практической реализации этой возможности
необходимо учитывать влияние взаимодействия образующихся экситонов и их
тепловую диссоциацию.
Использование метода эффективной массы и макроскопической диэлектрической
проницаемости в теории экситонов возможно только для потенциалов, плавно
изменяющихся с расстоянием. Для кулоновского потенциала вблизи г = 0 это
условие не выполняется, поэтому даже в кристаллах с хорошо выраженными
сериями водородоподобного типа (43.7), (43.8) первый уровень с п - 1
выпадает из сериальной закономерности, поскольку волновая функция
электрона в состоянии Is отлична от нуля и при г = 0.
Если тензор эффективной массы электронов и дырок отрицателен (критическая
точка типа М3, см. § 42), то кулоновское взаимодействие между электроном
и дыркой можно рассматривать как отталкивающее взаимодействие для частицы
с положительной массой. В этом случае связанные состояния не возникают,
однако такое дополнительное взаимодействие сказывается на частотной
зависимости диэлектрической проницаемости кристалла вблизи края
собственного поглощения [214].
ЭКСИТОНЫ ВАНЬЕ - МОТТА
317
Вблизи особенностей типа седловых точек Мх и М2 (см. § 42) для
полупроводников с малой шириной запрещенной зоны уравнение Шредингера
имеет эффективные массы, имеющие различные знаки для разных главных
направлений. В этом случае даже при наличии цилиндрической симметрии
точное решение уравнения Шредингера получить нельзя. В некоторых
соединениях группы цинковой обманки и германия реализуется условие \т*\^
mL. В этих условиях уравнение Шредингера, имеющее вид
С ffl / д2 . д2 \ ffl д2 е- ¦) , ч с I / \ tл о 11 \
\ [дх2 ду-) ~ дг? ~ е7} ^ ^ ~ Е'^ ^' (43-11 )
можно решить с помощью адиабатического приближения [214, 215]. Если
функция ф удовлетворяет уравнению
П2 / д2
4>i(x, у, г)=Е1(г)ц>1(ху; ?),
\ 2т\ \ дх2 ду2 / е Yхг + у2 + г2 J
(43.12)
где переменная г рассматривается как параметр, то в адиабатическом
приближении решение (43.11) можно представить в виде
^ И = Ф/(•"/'. г)Ф(г), (43.13)
в котором функция Ф (г) удовлетворяет уравнению
Г *2 & , с , ,
2m,f дг2 + Е' ^ '
Ф (г) = 0. (43.14)
При 2 = 0 уравнение (43.12) сводится к уравнению двумерного водородного
атома. Его связанные состояния имеют энергии [214]
?,(0) = - 2/n±[ftaea(2/- I)2]-1, /= 1, 2, ...
Значения Et (2) получаются при решении уравнения (43.11) методом теории
возмущений. После нахождения Et (2) уравнение (43.14) решается в
квазиклассическом приближении. Подробности вычислений изложены в работе
[214]. Экситонные состояния, соответствующие особым точкам Мг и М2,
проявляются в поглощении в виде острых максимумов [216 - 218].
Водородоподобные экситоны не наблюдаются в кристаллах с малой
диэлектрической проницаемостью е и большой эффективной массой (щелочно-
галлоидные кристаллы). В этом случае радиус экситонных состояний мал,
приближение эффективной массы не выполняется и взаимодействие между
электроном и дыркой нельзя аппроксимировать кулоновским потенциалом. В
ряде работ для описания экситонов этого типа предлагались различные
модели потенциала взаимодействия, отличающиеся друг от друга
протяженностью взаимодействия [219 - 221]. С результатами соответствующих
вычислений можно познакомиться в монографии Кардона [222] и цитированной
выше литературе.
318
ОПТИЧЕСКОЕ. ПОГЛОЩЕНИЕ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ [ГЛ. VIII
До сих пор мы рассматривали экситоны в кристаллах, в которых максимум
зоны проводимости и минимум валентной зоны располагались в одной точке ^-
пространства. В этом случае энергия поглощенного фотона расходуется на
образование экситона и его кинетическую энергию -h2k2Hpi* Спектр
погло-
щения при этом дискретный, так как поглощение происходит при выполнении
правила отбора: k=Q, где Q - волновой вектор света. Поэтому без участия
фононов колебаний решетки в экси-тонной зоне Еп (к) активен только один
подуровень с 0.
Переходы в эти экситонные состояния называются прямыми или вертикальными
переходами, так как /г==/гй -
Прямые переходы называются разрешенными, если матричные* элементы
перехода отличны от нуля при значениях | ke | ^ j kh | "=> 0. Вероятность
разрешенных прямых переходов пропорциональна квадрату модуля дипольного
момента перехода, построенного на блоховских функциях (при k=0) электрона
и дырки, и квадрату модуля волновой функции экситона в точке г - 0, т. е.
|г|з(0)р.
В случае параболических зон (сферическая симметрия) |г|)(0) |=?^0 только
в s-состояниях. При этом вероятность перехода пропорциональна кубу
отношения постоянной решетки к боровскому радиусу, т. е. v/nsR*, где v -
объем элементарной ячейки; Ri = = e^2/|ie2 - боровский радиус экситоиа.
