Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
301
Перейдем к вычислению тензора проводимости кристалла. Для этого
необходимо вычислить в линейном приближении средний ток
</(")) = а (<о)Е(<о), (42.11)
вызываемый в кристалле электрическим полем световой волны
(42.1). Для вычисления (42.11) воспользуемся методом матрицы плотности,
изложенным в предыдущем параграфе. При учете только линейных членов по Е
(со) мы автоматически исключаем процессы спонтанного обратного излучения,
которое в реальных системах отсутствует вследствие процессов релаксации.
Формально процессы релаксации также частично учитываются при
адиабатическом включении взаимодействия с малым параметром г| = т-1, где
т - эффективное время релаксации.
Полю (42.1) при кулоновской калибровке (div А = 0) соответствует
векторный потенциал А - - - Е. Поэтому оператор взаимодействия поля
(42.1) с электроном, включаемый адиабатически при t = - оо, в линейном
приближении можно записать в виде
#i (t) = - ^Ap = i (еВ) Е0 exp [- i (" + ir\) /J, (42.12)
где оператор
<42ЛЗ>
e, m - заряд и масса электрона. Оператор плотности тока также выражается
через оператор импульса
<42Л4>
здесь V - объем кристалла.
Пусть оператор Я" является одноэлектронным оператором с собственными
функциями Блоха
|8)^1|з*0(г) = ур-е<*ги*0(г)
и энергиями ts==ta(ft). Таким образом, индексу s соответствует два
индекса: k, а, где k - волновой вектор из первой зоны Бриллюэна, а
нумерует энергетические зоны.
Матричные элементы операторов (42.14) и (42.13) имеют, соответственно,
вид
JsLs= ^bklkaaia{k), (42.15)
где
aaia (k) = ~ uiai (p) {hk - in uka (p) dsp; (42.15a) BSls = 6k +
Q.kibaia(k, Q), (42.16)
302
ОПТИЧЕСКОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ [ГЛ. VIII
где
bata (к, Q) = ^ J И?+ <?, a (p) - itl uka (p) d*p, (42.16a)-
V
v - объем элементарной ячейки.
Если d - постоянная решетки, то в длинноволновом приближении Qd<^ 1 и
матричный элемент (42.16а) можно заменить
приближенным выражением
baia(k, Q)^baia (к, 0) = i OWx (Л). (42.17)
В этом приближении квантовые переходы из зоны а в зону аi совершаются при
выполнении условия
(42.18)
Если ах#а, то такие квантовые переходы без изменения волнового вектора
называются межзонными прямыми (или вертикальными) переходами. При
межзонных переходах вследствие ортогональности функций Uka матричные
элементы (42.15а) еще более упрощаются:
а^а (k) = ^ J и%а1 (р) Ш -др) uka (р) d3р. (42.19)
Таким образом, в длинноволновом приближении при межзонных
переходах
Bsjs - Skiktd ^^a jгл (А').
Рассмотрим среднее значение тока, обусловленное поглощением света при
прямом межзонном переходе из валентной зоны
S = (V, k) В ЗОНУ ПРОВОДИМОСТИ Si = (с, к).
Если учесть, что без внешнего поля (У)0 = 0, то в нашем случае средний
ток, вызываемый полем ^"expf-t((o + iri)f] при межзонном переходе, в
соответствии с выражением (41.16) будет определяться равенством
/Л= i_ V [/о (Ес (k)-f0 (Ev (ft))] асъ (k) {a*v (ft) е) ЕуГ'°*+ы V/ (oN ^
Ec(k)-Ev(k)~n(x> - iHr]
k
Из последнего выражения следует, что тензор проводимости
(- /, ( ^ [/о (ЕС (fe)) fo(Ey (fe))] (acv (k) X Ocv (ft))
/ .n nrv\
' ' co/V Zj Ec(k)-Ev(k)-H(0-inn >
k
где использовано обозначение (aXb) для диадного умножения двух векторов.
Компоненты диадного произведения определяются равенством (аХЬ)ху = ахау.
§ 42] ¦ СОБСТВЕННОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ ФОТОНОВ 303
Повторяя преобразования предыдущего параграфа, при получении выражения
(41.19) из (41.18) находим при Ес (ft) > Еv (k),
Re ст (со) = ? 2/о (Е* W) [1 - fo (Ес (ft)] X k
. х (acv (ft) X a% (ft)) 6 (Ec (ft) - Ev (ft) - Щ, (42.21)
Множитель f0 (Ev (ft)) {1 - f0 [Ec (ft)]} определяет вероятность того,
что состояние с, ft в зоне проводимости свободно, а состояние v, ft в
валентной зоне занято электроном до перехода. При достаточно низких
температурах этот множитель равен единице. В этом случае
Re ст (со) = 2 (acv (ft) X <&, (ft)) <5 [Ec (ft) - Ev (ft) - ft<o].
(42.22)
A
При вычислении явной зависимости (42.22) от частоты со обычно
пренебрегают зависимостью acv(k) от волнового вектора. Тогда, переходя от
суммы к интегралу, имеем
Re ст0 (со) = ^^ (0)- J б-[?св (ft) - Йсо] cPk, (42.23)
где
Ecv (ft) = Hacv = Ес (ft) - Ev (ft), (42.24)
^(°) = ^(в"(°)ХвЙ"(0)) (42.25)
- сила осциллятора квантового перехода между зонами.
Используя равенство d3k = dS dE (! grad*? (ft) j)-1, можно заменить
интегрирование в (42.23) по объему ^-пространства интегралом по
поверхности постоянной энергии S (Е) с последующим интегрированием по
энергии. Тогда
S (42'26)
Следовательно, выражение (42.23) преобразуется к виду
Reg0(<o) = -!i^?a(0U&r- /р } . (42.27)
16л2 lj|grad* E"(ft)| J?^(4)=?m ' >
В приближении изотропных эффективных масс электрона и дырки, когда
экстремумы обоих зон расположены при Л = 0, имеем
Ес (ft) = Ес (0) - j- №k2!2m*,
Ev(k) = Ev(0)-h2k2/2mt
Поэтому
, Ecv (ft) - Eg-{- h2k2/2\.i, (42.28)
304
ОПТИЧЕСКОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
[ГЛ. VIII
где
Eg^Ec (0) - Ev (0) > 0
- энергетическая ширина запрещенной зоны,
ц = т*т*/(т* + т%)
