Отрывные течения. Том 2 - Чжен П.
Скачать (прямая ссылка):
Согласно теоретическим результатам, если х - расстояние, измеряемое от
точки с угловой координатой 45° относительно передней критической точки,
то толщина поверхности разрыва
98
ГЛАВА VIII
или ширина следа пропорциональна ж1/2 для малых чисел Рейнольдса, и до
тех пор, пока справедлива эта зависимость, течение в следе можно
предполагать ламинарным.
Сопротивление тела можно вычислить, измеряя распределение скорости далеко
за телом в следе и применяя уравнение количества движения.
Течение около плоской пластины и за ней
Предположим, что плоская пластина расположена под нулевым углом атаки в
однородном потоке, движущемся со скоростью
Фиг. 27. Применение уравнения количества движения для расчета
сопротивления плоской пластины, расположенной под нулевым углом атаки,
при заданном профиле скорости в следе [66].
и пусть плоскости AAi, ВВ\ являются контрольными поверхностями (фиг. 27).
Вследствие условия неразрывности и уменьшения скорости вблизи оси х частц
жидкости будет протекать
ТЕЧЕНИЕ В СЛЕДЕ
99
через контрольную поверхность AiBi. Количество протекающей жидкости равно
разности между количеством жидкости, поступающей через AAi и проходящей
через В В ь Граница АВ не дает вклада в количество движения в направлении
х, так как вертикальная составляющая скорости на оси х вследствие
симметрии равна нулю. Если ширину пластины обозначить через Ь, втекающую
массу жидкости считать положительной, а вытекающую - отрицательной, то
баланс количества движения можно выразить следующим образом:
Количество движения в направлении оси х
Сечение Расход
АВ 0 h
АА, ь | Ueody h
ВВ, -b J udy 0 h
AiB, - 6 j ("оо -i 0
2 = Контрольная поверхность 2 = Расход
и) dy
^ Uoo (Uqo -
u) dy
2 - Поток количества движения = Сопротивление
Так как полный поток количества движения равен сопротивлению D, то на
одной стороне пластины
D = bp j и (uoo - u)dy.
у=о
Для обеих сторон
2D
= Ър j и (и о" - и) dy.
(1)
Хотя это уравнение, выражающее потерю количества движения, выведено для
плоской пластины, оно применимо для любого симметричного цилиндрического
тела.
Если мы определим толщину потери импульса как
ТО
D - bpulо0.
100
ГЛАВА VIII
Распределение скорости в следе за плоской пластиной определяется
следующим образом [66]. Предположим, что в следе средняя по времени
разность составляющих скорости в направлении оси х
U' (х, у) = и о" - и (х, у) (2)
мала по сравнению с и", так что членами с U'2 или более высокого порядка
можно пренебречь. Пренебрегая U'2 и средней по времени разностью V'2
составляющих скорости в направлении оси у, получаем уравнение
пограничного слоя на плоской пластине в виде
dU' дЮ'
иао~дГ'~У> ~ду^~ (3)
с граничными условиями dU' 1ду = 0 при у = 0 и U' = 0 при у = оо. Чтобы
перейти от уравнения в частных производных к обыкновенному
дифференциальному уравнению, примем
J7' = B"c(f)_/lg(T0, (5)
где I - длина пластины и С - произвольный коэффициент. Теперь уравнение
(1) примет вид
ОО
2D = бри. j U' dy. (6)
- ОО
Если подставим (5) в (3) и разделим результат на Си\0 (ж//)-l/*a;el^ то
получим
ё,ч|лгЧ^=° (7)
при граничных условиях g' = 0 при т) = 0 и g = 0 при Т] = со. Интегрируя,
получим
?' + 4"П? = 0,
причем постоянная интегрирования равна нулю благодаря граничному условию
g' = 0 при т) = 0.
Интегрируя далее, получим
? = ехр ( - -^т1г), (8)
ТЕЧЕНИЕ В СЛЕДЕ
101
причем постоянная интегрирования появляется в виде множителя и, не
нарушая общности, ее можно принять равной единице, так как в уравнение
(5) входит произвольный коэффициент С. Он определяется из условия
равенства сопротивления, вычисленного по формуле (6), сопротивлению
пластины. Так как
ОО ОО
js(il) jexp ( - ^ri2)dri =
- ОО -00
=2iш,
уравнение (6) принимает вид и_ 2D = 2 Cbpui, л/' -.
f U оо
W од / \
ПК / \
(\4 / \
П? у к
л у ч
-4 -1 0 2 5 4
Фиг. 28. Асимптотическое распределение скорости в ламинарном следе за
плоской пластиной [66].
Из этих двух уравнений С = 0,664/]/л.
Фиг. 29. Распределение скорости в ламинарном следе за пластиной,
расположенной под нулевым углом атаки [66].
Окончательно получаем скорость U' в следе
Это уравнение справедливо на большом расстоянии от края пластины. На фиг.
28 показано распределение скорости, полученное из уравнения (9), которое
напоминает гауссову функцию распределения ошибок.
На фиг. 29 показано распределение скорости в ламинарном следе.
102
ГЛАВА УШ
Течение около тела произвольной формы и за ним
В ламинарном следе даже на большом расстоянии за телом скорость в
окрестности оси симметрии не равна скорости невозмущенного потока. Силы,
действующие на тело произвольной формы, можно вычислить с помощью теоремы
импульсов [67]. Скорость невозмущенного потока и ее направление
обозначаются через и", и х. Начало оси координат х находится в некоторой
точке внутри тела. Скорость в любой заданной точке определяется в виде и
а, - V, где V имеет три составляющих и, v и w в направлении осей х, у и
