Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
Tva = TyaH M^a = хыТ^а - P[[XV]a. (15.33)
Отсюда следует, что компоненты Tap, определенные вторым равенством (15.21), являются контравариантными компонентами (в ССК) тензора энергии-импульса поляризующейся и намагничивающейся среды с гиромагнитными свойствами и электромагнитного поля. Первое и второе слагаемые в правой части второго равенства (15.33) представляют собой соответственно компоненты тензора орбитального момента количества движения и компоненты тензора внутреннего момента количества движения /CMV“- Для последних на основании определения (15.11) величин Pa^y имеем
к = _ /5[HV]A. __
= - ^ z*mvtnvutiux + 4eKpX^mK«p«v]. (15.34)
*) Для рассматриваемой модели в выражениях (13.52), (14.32) следует положить Hg= А$. Кроме того, для коэффициен-
тов, соответствующих определяющим параметрам Xv (Iy)t вместо (13 52) следует использовать выражения (15.32).
8*
228 СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД [ГЛ. 5
Значения величин Cr1ZC^vo относительно собственной ГСК называются компонентами собственной плотности внутреннего момента количества движения Kliv. Из равенства (15.34) и антисимметричности величин вытекает следующее выражение:
К** ЯШ і UlKtivk = gfr EtivtmUpmx. (15.35)
Наряду с антисимметричным тензором собственной плотности внутреннего момента количества движения, компоненты которого определяются соотношением (15.35), можно ввести еще 4-вектор плотности внутреннего момента количества движения с компонентами
/Cx= Tj- хи9 = 2р (15.36)
Последнее равенство здесь вытекает из выражения (15.35) для Kixv и тождества (1.41) (см. также доказательство формулы (5.24)). Таким образом, в рассматриваемой модели 4-вектор плотности внутреннего момента количества движения оказывается пропорциональным 4-вектору намагниченности среды. Величина 2Г, обратная коэффициенту пропорциональности, называется гиромагнитным отношением. Если Г = со, то, очевидно, внутренний момент количества движения отсутствует.
Используя соотношения (15.32), (15.33) и тождества
(1.34), (1.35), легко показать, что для рассматриваемой модели уравнение энергии-импульса (10.15), записанное относительно CCK, совпадает с уравнением движения
(15.21), а условие баланса на разрыве потока энергии-импульса (10.15) совпадаете первым динамическим условием на разрыве (15.29). Учитывая равенства (1.40), (1.42), запишем его в ковариантной форме (при IaIa ф О):
\Т^}1 - Vw {/>*%}! Ak) -О, /Ili- (15.37)
Отсюда следует, что тензор -{
можно рассматривать как тензор гиперповерхностной плот-ности потока энергии-импульса среды с гиромагнитными свойствами. Для среды, не обладающей гиромагнитными свойствами (Г = оо), этот тензор на основании равенства
§ 15]
ПОЛЯРИЗУЮЩАЯСЯ СРЕДА
229
(15.11) тождественно равен нулю. Первое соотношение
(10.16), представляющее собой уравнение момента количества движения для рассматриваемой модели, является следствием первого уравнения (10.15) и тождества 7Чав1 = _ VvPlaWvf
вытекающего из определений (15.11), (15.21) соответственно компонент P0^Y, Та$. Второе соотношение (10.16), представляющее собой условие баланса на разрыве потока момента количества движения, для рассматриваемой модели совпадает с соотношением (15.31), являющимся следствием динамических условий на разрыве (15.29). Оно также записывается в ковариантном виде, аналогичном равенству (15.37), причем тензор
-Xlu {Р^п^(1к)э^9{к)
может рассматриваться как тензор гиперповерхностной плотности потока момента количества движения среды с гиромагнитными свойствами. Для среды, не обладающей ими (Г = оо), этот тензор тождественно равен нулю.
Компоненты тензора энергии-импульса проводящей, но неполяризующейся и ненамагничивающейся сплошной среды и электромагнитного поля могут быть представлены в виде суммы компонент двух тензоров, один из которых зависит только от тензора напряженности электромагнитного поля, а другой от него совсем не зависит (см. § 14). Для поляризующейся и намагничивающейся среды и электромагнитного поля подобное представление компонент суммарного тензора энергии-импульса, определенных вторым равенством (15.21), вообще говоря, невозможно. Поэтому, как известно [5], тензор энергии-импульса единой системы, которую представляет собой поляризующаяся и намагничивающаяся сплошная среда и электромагнитное поле, можно различным образом разбивать на сумму двух тензоров, рассматриваемых как тензоры энергии-импульса сплошной среды и электромагнитного поля. Выберем в качестве последнего тензор Минковского [5] с компонентами
Г<"> =- Ш (раУН^ - T ^vV*) • (15.38)
Тогда кемпоненты тензора энергии-импульса сплошной среды 7? определяются однозначно из уравнения
= 7? + Т%. (15.39)
230 СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД [ГЛ. 5
Плотность внутренней энергии, введенная равенством (12.8), для поляризующейся и намагничивающейся среды с гиромагнитными свойствами и электромагнитного поля на основании соотношений (15.39) и приведенных выше выражений для компонент 4-тензоров Tfh, т<* пд, /?, Pap представляется в виде суммы
