Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
UyLjoxp) = 0, UyL(IpO) = UyLppxp) = UyLppf) = Of
и TaPv л /CaPlv_п (14.45)
иаЬ{еЧГ) — и, L(exp) = и,
вытекающим из тождеств UySy = Uy ]у = UaTap = TfaW = 0. Обобщенные термодинамические силы — Т~гФу — T-lxYt T~leар связаны между собой зависимостями (13.64) и зависимостью T-lxYaUa = 0. Поэтому коэффициенты Lb определены не однозначно. При этом, согласно общей теории необратимых процессов [9—12], существует такое представление коэффициентов Lbj в котором они удовлетворяют соотношениям Онсагера — Казимира (12.23).
В дальнейшем при рассмотрении необратимых процессов ограничимся простейшим случаем, когда уравнения
(14.44) имеют вид
Qy = TSy = %Ф\ P = YxFz, Xу* = Ц^у6уебу + 2\иР*. (14.46)
212
СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД
[ГЛ. 5
Входящие в них множители X» V» К Iі* вообще говоря, являются функциями от определяющих параметров и их производных (например, от величин р, T = dU/dS)> которые должны задаваться дополнительно. Законы (14.46) определяют величины Фу, 1Py, Tap, причем так, что выполняются условия (13.16), (14.11).
Исключая при помощи второго равенства (14.46) компоненты Wy из динамического уравнения (14.20), получим соотношение
/Y = Y(FyaUa -YPVp^-^“PVV + cupvWP^j)- (14.47)
В собственной ГСК при dU/dZ = dU/dj6 = 0 оно совпадает с законом электропроводности Ома и, следовательно, является его релятивистским обобщением. Множитель у называется коэффициентом проводимости среды. Физический смысл первого и третьего законов (14.46) остается тем же, что и в § 13; в частности, для компонент 4-вектора плотности потока тепла справедливо выражение (13.66).
Используя уравнения (14.46), представим выражение
(14.43) для диссипативной функции о в виде1)
Условие неотрицательности диссипативной функции а (см. § 6) накладывает ограничения на коэффициенты X» V» К Pt присутствующие в уравнениях (14.46):
Если среда идеально проводящая (у = оо) или абсолютно непроводящая (v=0), то из второго равенства (14.46) получим соответственно Ty==O или /у = 0. Эти случаи полностью аналогичны случаям среды с бесконечной и нулевой теплопроводностью, рассмотренным в§ 13. В частности, для непроводящей среды ?" = ^(^) и бг|)а = 0. В обоих случаях в выражениях (14.43) и (14.10) для a и бW* члены, содержащие величины Wyy обращаются в нуль, причем для идеально проводящей среды динамическое уравнение (14.20) при dU/dZ = dU/dja = 0 принимает известный вид
Х^о, Y Ss 0, JLt 0, ЗА, + 2^ SsO. (14.49)
FafiUaSSze р = 0.
*) Cm. примечание перед формулой (13.67).
ПРОВОДЯЩАЯ СРЕДА И ПОЛЕ
Если, кроме того, X =00 или X = O и Х = ц = 0 (см. § 13),. то а = 0, 6№* = 0, и, следовательно, все процессы обратимы, а из исходного вариационного уравнения (14.9) вытекает принцип экстремальности действия 81 = Опри &W = 0.
Отметим, что, как и в предыдущем параграфе, после построения рассматриваемой модели использование параметров ф, cpY, не является необ>одимым.
Специальные модели. Модель, для которой лагранжиан А и функционал 6W* имеют вид (14.1), (14.10)^ является моделью нелинейно-упругой электро- и тепло-проводной вязкой среды и электромагнитного поля. Она содержит в себе рассмотренную в предыдущем параграфе модель нелинейно-упругой теплопроводной вязкой среды как частный случай, для которого Z7ctp = Jy =* 0, dUfdZ s* = dU/dja = 0. В другом предельном случае, когда pU =з-= Jy = 0, получается модель электромагнитного поля в вакууме, для которой
A(Zr) = P OcpZ70tP, 6IF* = 0, Z7otP = V[ai4 од,
а динамические уравнения и условия на разрывах имеют вид (14.21) (при Jy = O) и (14.25), (14.31). При этом компоненты тензора энергии-импульса Tap совпадают с определенными вторым соотношением (14.6) компонентами 7?* которые называются компонентами тензора энергии-импульса электромагнитного поля в вакууме.
Если /aE= 0, то среда называется абсолютно непроводящей. В этом случае параметры электрического тока г|эа исключаются из числа варьируемых функций и пропадают динамические уравнения и условия на разрывах, получаемые при варьировании ^a. Удельная плотность электрического заряда Z при этом остается постоянной вдоль мировых линий среды и является неварьируемой функцией, определяющейся начальными условиями. Если среда еще нетеплопроводная и невязкая, то из числа варьируемых функций исключаются также параметры фа, ф, после чего функционал 6№* становится тождественно равным нулю. Удельная плотность энтропйи S при этом также остается постоянной вдоль мировых линий среды (для непрерывных процессов) и является неварьируемой функцией, определяющейся начальными условиями и условиями на разрывах.
214
СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД
ГГЛ. 5
Модель электро- и теплопроводного вязкого газа (или жидкости) и электромагнитного поля получается как специальный случай рассмотренной модели, когда функция U в выражении (14.1) для лагранжиана имеет вид
l/ = l/(p, S9 Z9 1512, |/|», -(Sj)t кв)9 (14.50)
где |5|2 = YapS“SP, I/I* = YapfA -(Sy) = YapSaZp И ВСЄ неварьируемые параметры кв (Iа) — скаляры. Для ультра-релятивистского проводящего газа след тензора энергии-импульса равен нулю [17], и на основании соотношений
