Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
(13.33), (13.37), (13.38), (14.24) и (14.28). Однако для вывода динамических условий на разрывах этих соотношений недостаточно, так как в выражение (15.25) для функционала 6W входят производные от вариаций Sxa = =giivx^Sxv. Поэтому еще необходимо задать условия, связывающие значения производных dSxv/df(0) s= f{0)d]lSxv на двух сторонах гиперповерхности разрыва. В дальнейшем рассмотрим случай, когда указанные производные связаны условием непрерывности:
- {/<0><УИ± - AuO)+ №Ч± = 0. (15.26)
Здесь /ft)- = — $о)+ — компоненты вектора/(0), линейно независимого от касательных к гиперповерхности разрыва векторов /(*) (см. третье примечание к § 9).
Чтобы получить динамические условия на разрывах, функционал SW необходимо записать в канонической форме (см. § 9). Для этого преобразуем второе слагаемое в подынтегральном выражении в равенстве (15.25), исполь-
5 15) ПОЛЯРИЗУЮЩАЯСЯ СРЕДА 225
зуя тождества (9.15), (9.39):
Ра^1^у6ха = P?%dySxv =
- рА(й"^V?1) «*•+
+ ЮVv JjTj^ (15-27)
Применяя затем кинематические соотношения на разрыве для вариаций 6xv, <36xv/df(0), 6фа, 6г|)а, 6Aa и полагая их равными нулю на границе 6V, представим функционал 6W в следующем виде *):
Шс = с S ((7^ - /V. V”}* +
+ p;v%/^ 6xv}+) d%. (15.28)
Интеграл от последнего слагаемого здесь сводится к интегралам по двумерным ребрам и краям гиперповерхности разрыва Sc (последние представляют собой пересечения гиперповерхностей Sc и 6V).
Приравнивая функционал bWc нулю и учитывая, что вариации 6л^, (д 6xv/d/(0))+, 6ф?, 8?, 6Aa являются независимыми, а коэффициенты при вариациях бф% 6? в выражении (15.28) тождественно равны нулю, получим еле* дующие динамические условия на разрыве2):
{пзд: - -L {^?}- №=о, [p;r?VvC=°. (15-29>
{ГЫ[,/э]^}+ = 0, |л[у/э]^ = 0, = 0. (15.30)
1J Cm. примечание перед формулой (13.45). Все сказанное там остается в силе при замене 6(pY на бгрт.
а) При этом следует учесть вытекающие из третьего примечания к § 9 тождества
(‘ЛЪ-Ш-
8 Л. Т. Черный
226 СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД [ГЛ. 5
Ниже будет показано, что первое равенство (15.29) совпадает с вытекающим из теоремы Нётер условием баланса на разрыве потока энергии-им пульса поляризующейся и намагничивающейся среды с гиромагнитными свойствами и электромагнитного поля. Второе равенство
(15.29) с учетом первого эквивалентно следующему условию на гиперповерхности разрыва:
VWVvfc^-O. (15.31)
которое, как будет показано ниже, совпадает с вытекающим из теоремы Нётер условием баланса на разрыве потока момента количества движения поляризующейся и намагничивающейся среды с гиромагнитными свойствами и электромагнитного поля.
Первые два условия (15.30) имеют тот же смысл, что и в § 13 и 14, если учесть, что для рассматриваемой модели Ty = Tuyy [Iy = Ay Здесь Tyy (Iy-компоненты, введенные в § 13 и 14 и фигурирующие в рассмотренных там условиях на разрывах. При этом первое условие (15.30) может быть представлено в виде (13.48) или (13.51), а второе условие (15.30) тождественно удовлетворяется в силу кинематических соотношений на разрыве для компонент Ay (см. равенство (14.27)). Последнее равенство (15.30) вместе с соотношением (14.26) образует известную систему условий на разрыве для электромагнитного поля в поляризующейся и намагничивающейся среде [1], записанную в четырехмерной форме. Используя преобразование, получающееся из (14.31) заменой компонент Fa^us Ha^y легко показать, что последнее условие (15.30) имеет такой же вид и в ГСК наблюдателя.
Динамические тождества. Чтобы получить динамические тождества для рассматриваемой модели, применим теорию, развитую в предыдущей главе. Сравнивая общие выражения (7.19), (9.1) и (10.13) для функционалов 6W*y 6W и вариаций 6е|хл, соответствующих бесконечно малому преобразованию Пуанкаре (10.11), с их конкретными выражениями (15.13), (15.25), (13.18), (14.12), (14.33),
(15.16), найдем, что для рассматриваемой модели коэффициенты МАу Wa, WAy W1A , /цг» Zv» входящие
в указанные общие выражения, имеют вид (13.52),
5 151 ПОЛЯРИЗУЮЩАЯСЯ СРЕДА 227
14.32) 1) и
VLa Ma МаА Mf WaA Wf Iav I$
^ 0 т- 0 Ty-Il Py^ll ЧА 6V (15.32)
Pa Pa О О О О OO
та Ma О О О О 0 0
Рассмотрим законы сохранения энергии-импульса и момента количества движения, вытекающие из однородности и изотропности пространства событий Минковского. Легко проверить, что для вариаций (13.18), (14.12),
(14.33) и (15.16) все условия теоремы Нётер удовлетворяются. Следовательно, на действительных процессах выполняются тождества (10.6)-(10.10), (10.15), (10.16), записанные с учетом соотношений (13.52), (14.32), (15.32) при Ib = Iv и Ib = Iuv- Они выражают законы сохранения энергии-импульса (при Ib = Iv) и момента количества движения (при Ib = I^v) поляризующейся и намагничивающейся среды с гиромагнитными свойствами и электромагнитного поля. Общие выражения (10.14) для компонент T1v?, Muva тензоров энергии-импульса и момента количества движения в рассматриваемой модели на основании соотношений (13.52), (14.32), (15.32) принимают вид
