Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
PlTsb 0Op"4 + + с ekpg ^lvP + Ir) В9' Ip = 'Р>
dU•
'*_Ж
OkI5" = U, ^OpC9 = --^r, В" =Sbk,
0*?*-4jipZ, e*P*dpB9 = f(PZv* +/*) + !??, Ek = Ek.
218 СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД [ГЛ. 5
Кроме того, по-прежнему будут справедливы соотношения (13.91), (13.93), (13.94), а также равенство /а = ?*/*. В полученных уравнениях через Sk9 qk, /*, pkq, г*9 обозначены компоненты, получающиеся при переходе к ГСК Xyf из компонент S*k9 q*k9 j*k, р*кд, %*кя в результате преобразований, в которых опущены малые величины, пропорциональные Cr2. Если ГСК x*v выбрана указанным выше специальным образом, то из соотношений S*0 = = q*" = j*o = р*ov=:T*ov = o вытекают равенства Sk = S*k9
qk = q*kf jk = j*kt pkq = p*k(*% =
§ 15. Поляризующаяся и намагничивающаяся среда
Определяющие параметры. Рассмотрим модель системы, состоящей из проводящей, поляризующейся и намагничивающейся сплошной среды и электромагнитного поля, с лагранжианом1)
Л = - Ш ~ у JaA* - 1 + Tr ®Vmv -
-pt/(p, S, Yap. ру, ГПу, У.в). (15.1)
Здесь Map — компоненты тензора поляризации и намагни-ченности среды; ру, mY — компоненты 4-векторов поляризации и намагниченности среды; coY — компоненты 4-вектора угловой скорости среды. Эти параметры были определены во второй главе. Остальные аргументы лагранжиана встречались в § 13 и 14. Слагаемое Г^сйУту включено в лагранжиан для описания гиромагнитных свойств среды, т. е. внутреннего момента количества движения, связанного с намагниченностью, по аналогии с нерелятивистской механикой [24]2). Коэффициент Г может зависеть от определяющих параметров и их производных, например, от величин р и T = dU/dS. Для упрощения последующих выкладок ограничимся случаем T = Const.
х) Здесь предполагается, что компоненты Fa^t Ja выражены через величины Aa. 'Ф® ПРИ помощи формул (14.2), (5.14). Кроме того, для сокращения последующих выкладок рассматривается частный случай, когда функция U не зависит от Z1 Sa, ia. Возможно также другое определение лагранжиана [20], при котором компоненты Fa$t Aa варьируются независимо и члены, содержащие величины Jat присутствуют не в лагранжиане, а в функционале 6W*.
2) Другие подходы к построению моделей сред с внутренним моментом количества движения развиты в [25—28].
§ 15J ПОЛЯРИЗУЮЩАЯСЯ СРЕДА 219
По сравнению с лагранжианом, рассмотренным в § 14, выражение (15.1) содержит одно дополнительное слагаемое, зависящее от компонент тензора напряженности электромагнитного поля. Принятая зависимость Л от Fa$ определяется требованием, чтобы уравнение Эйлера при вариациях 6Au имело бы по аналогии с уравнением (14.21) вид
VfiF*P = _ f (Ja + Лп)\ А e VpMap.
При этом используется также дополнительное условие о независимости лагранжиана от компонент Aa при Ja = O и от производных VyFap.
Напомним некоторые свойства аргументов лагранжиана (15.1). Для компонент Л1“Р, (Oa имеют место выражения (см. § 3 и 5)
^aP = vIcHbi = Map = + e“pveuYme, (15.2)
(Oa = ~ = J eapv«UpVYue = ‘ e“pv«updvue, (15.3)
причем аргументы ра, та по определению удовлетворяют связям
UaPa = -^=-Po = O9 иата = —7= то = 0. (15.4)
V Sqq V Sqo
Свойства остальных аргументов были рассмотрены в § 13 и 14. Все аргументы лагранжиана (15.1) выражаются через функции координат ?v
xv, ф“, ф, ^a, Aa, ру, ту (15.5)
и их производные. Поэтому функции (15.5) удобно выбрать в качестве определяющих параметров цЛ(^).
Вычислим вариации аргументов функции Л К—g* используя полученные во второй главе их выражения через определяющие параметры (15.5).
1. Вариации величин Ma^ У—g. На основании выражений (15.2), (1.27) для Map, e“Pv6 и формул (7.13), (7.15) для вариаций SVr—g, Suct1 биа имеем
6 (Map У —g) = S (V—g ы(Лрр) + еа^6иут6) —
= (MaWV6SXy + dagmpy+e“p«vU66mv) (15.6)
220 СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД [ГЛ. 5
где введено обозначение
— ulag^ (Ур^У —
— га^иет^иУиб — ваР® <^6>те. (15.7)
Используя соотношения (15.6), (14.5), найдем также вариацию третьего члена в выражении (15.1) для лагранжиана, умноженного на У— g'-
FafiM^ V=g) = (- М“%6Ла + Р$, V6Sxv -
— Fyaua8py — ~ Ry6a^u6Fafrbmy) V ~-g- (15.8)
Здесь
P$,, = J> M“Pv6fap. (15.9)
2. Вариация произведения T-1Coym*\f—g. На основе выражений (15.3), (1.27) для wa, eaPv6 и формул (7.15) для вариаций Sua имеем
?( ~ О>аГПа V=g) = b(w ^6MaUfrdyUe) =
= [-gr *#*т* (SUfrVyU6 +UfrVybU6) + 8ma] VzzI =
= [-P“J>Vp6xa - Vv (P*Pvvp6xa) + 6mv] K=I- (15.10) Здесь введены обозначения
Pffi = ^coYmvUaUP + evee<«mv (uf»Veu6—ueVeuP>)—VvPaPv,
PaPv _ JLeeea<pmeUeUv>. (15.11)
Вариации первых двух членов в выражении для функции A Y—ё* соответствующей рассматриваемой модели,
а также вариации ее аргументов р, S9 уа$, pV—S определяются по формулам, полученным в § 13 и 14.
Вариационное уравнение. Исходное вариационное уравнение имеет вид
6/+6Г* + 8№ = 0, Iaa I J ЛVz^gdiI (15.12)
І>/іс
Функционал 8W* зададим следующим образом:
6Г* = | j (г^ + Ф^ + Ч'*+PaSpa +
0/Sc ____
+ AlaSma + V~gd% (15.13)
§ 15] ПОЛЯРИЗУЮЩАЯСЯ СРЕДА 221
